证明：
在筝形$ABCD$中，$AD=CD$，$AB=CB$，$AC$为公共边，
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC$（SSS），
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$，$∠ BCA = ∠ DCA$，
$\therefore AC$平分$∠ BAD$和$∠ BCD$。
设$AC$与$BD$交于点$O$，
在$△ ABO$和$△ ADO$中，
$\because AB=AD$，$∠ BAO = ∠ DAO$，$AO=AO$，
$\therefore △ ABO ≌ △ ADO$（SAS），
$\therefore BO=DO$，$∠ AOB = ∠ AOD = 90°$，
$\therefore AC ⊥ BD$，$BD$被$AC$平分，但$AC$不一定被$BD$平分（只有当$AB=AD$时才平分），故A错误。
$\because △ ABO ≌ △ ADO$，$△ CBO ≌ △ CDO$，
$\therefore$直线$BD$是筝形的对称轴，B正确。
$\because △ ABO ≌ △ ADO$，$\therefore ∠ ABO = ∠ ADO$，同理$∠ CBO = ∠ CDO$，
$\therefore BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$，C正确。
筝形面积$S = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2}AC · BO + \frac{1}{2}AC · DO = \frac{1}{2}AC · (BO + DO) = \frac{1}{2}AC · BD$，D正确。
结论错误的是A。
答案：A

解：长方形ABCD长为6，宽为4。向右平移2个单位，向下平移1个单位后，阴影部分的长为$6 - 2 = 4$，宽为$4 - 1 = 3$，面积为$4×3 = 12$。
12

∵AO是△ABC的对称轴，∴△ABC关于AO对称，即△ABO≌△ACO，S△ABO=S△ACO=1/2S△ABC。
∵D，E在AO上，∴△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，设S△ABD=S△ACD=a，S△BDE=S△CDE=b。
阴影部分面积=S△ABD+S△ACD+S△BDE+S△CDE=2a+2b=9，∴a+b=4.5。
S△ABO=S△ABD+S△BDE+S△BOE，S△ACO=S△ACD+S△CDE+S△COE，又S△BOE=S△COE（对称），设S△BOE=S△COE=c。
则S△ABO=a+b+c=4.5+c，S△ABC=2S△ABO=2(4.5+c)=9+2c。
又∵阴影部分若包含△BOE和△COE，则阴影面积=2a+2b+2c=9+2c=9，∴2c=0，即E与O重合。
此时S△ABC=9+0=9？矛盾，故阴影部分为2(a+b)=9，而△ABC面积=2(a+b+c)+2c？不对。
重新考虑：AO为对称轴，阴影部分关于AO对称，面积为9，故对称轴一侧阴影面积为4.5。△ABC面积为对称轴一侧总面积的2倍，而一侧总面积=阴影面积+非阴影面积，若阴影部分为一侧全部，则△ABC面积=2×9=18。