1. 下列方程组：①$\begin{cases}x = 3y,\\y = - 2\end{cases}$②$\begin{cases}3x + y = 2,\\y - z = 4\end{cases}$③$\begin{cases}x + \dfrac{1}{y} = 3,\\x - \dfrac{1}{y} = 0\end{cases}$④$\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$⑤$x + y = 2x - y = 3$. 其中属于二元一次方程组的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1. C
解析：
①是二元一次方程组；②含有三个未知数，不是二元一次方程组；③方程中含有分式，不是二元一次方程组；④是二元一次方程组；⑤可化为$\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 3\end{cases}$，是二元一次方程组。属于二元一次方程组的有①④⑤，共3个。
C
C
2. 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$是方程$kx - y = 3$的一组解，那么$k$的值是( )
A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$
A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$
答案：2. A
解析：
将$x = 2$，$y = 1$代入方程$kx - y = 3$，得$2k - 1 = 3$，解得$k = 2$。
A
A
3. 已知有理数$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x - y = 3,\\2y - x = - 4\end{cases}$则$2x + y$的值为( )
A.$-1$
B.0
C.1
D.2
A.$-1$
B.0
C.1
D.2
答案：3. A
解析：
解：$\begin{cases}3x - y = 3,①\\2y - x = - 4,②\end{cases}$
①+②，得$2x + y = -1$
A
①+②，得$2x + y = -1$
A
4. 已知有理数$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x - 2y = 1,\\x + y = 2\end{cases}$则$x^{2} - 2y^{2}$的值为( )
A.$-1$
B.1
C.3
D.$-3$
A.$-1$
B.1
C.3
D.$-3$
答案：4. A
解析：
解：由方程组$\begin{cases}3x - 2y = 1 \\ x + y = 2\end{cases}$，
由$x + y = 2$得$x = 2 - y$，
代入$3x - 2y = 1$，得$3(2 - y) - 2y = 1$，
$6 - 3y - 2y = 1$，
$-5y = -5$，
$y = 1$，
则$x = 2 - 1 = 1$，
$x^2 - 2y^2 = 1^2 - 2×1^2 = 1 - 2 = -1$。
A
由$x + y = 2$得$x = 2 - y$，
代入$3x - 2y = 1$，得$3(2 - y) - 2y = 1$，
$6 - 3y - 2y = 1$，
$-5y = -5$，
$y = 1$，
则$x = 2 - 1 = 1$，
$x^2 - 2y^2 = 1^2 - 2×1^2 = 1 - 2 = -1$。
A
5. 已知代数式$- 12x^{m - 1}y^{3}$与$3x^{n}y^{m + n}$是同类项，那么$m$，$n$的值分别是(
A.2，1
B.$-2$，$-1$
C.2，$-1$
D.$-2$，1
A
)A.2，1
B.$-2$，$-1$
C.2，$-1$
D.$-2$，1
答案：5. A
解析：
因为代数式$-12x^{m - 1}y^{3}$与$3x^{n}y^{m + n}$是同类项，所以相同字母的指数分别相等，可得：
$\begin{cases}m - 1 = n \\m + n = 3\end{cases}$
将$n = m - 1$代入$m + n = 3$，得$m + (m - 1) = 3$，解得$m = 2$，则$n = 2 - 1 = 1$。
A
$\begin{cases}m - 1 = n \\m + n = 3\end{cases}$
将$n = m - 1$代入$m + n = 3$，得$m + (m - 1) = 3$，解得$m = 2$，则$n = 2 - 1 = 1$。
A
6. 方程$3x + 2y = 20$的非负整数解的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：6. D
解析：
方程$3x + 2y = 20$，变形得$y=\frac{20 - 3x}{2}$。
因为$x$，$y$为非负整数，所以$20-3x$为非负偶数，且$x≥0$，$y≥0$。
当$x=0$时，$y=\frac{20 - 0}{2}=10$，符合题意；
当$x=2$时，$y=\frac{20 - 6}{2}=7$，符合题意；
当$x=4$时，$y=\frac{20 - 12}{2}=4$，符合题意；
当$x=6$时，$y=\frac{20 - 18}{2}=1$，符合题意；
当$x=8$时，$y=\frac{20 - 24}{2}=-2$，不符合题意。
所以非负整数解有$4$个。
D
因为$x$，$y$为非负整数，所以$20-3x$为非负偶数，且$x≥0$，$y≥0$。
当$x=0$时，$y=\frac{20 - 0}{2}=10$，符合题意；
当$x=2$时，$y=\frac{20 - 6}{2}=7$，符合题意；
当$x=4$时，$y=\frac{20 - 12}{2}=4$，符合题意；
当$x=6$时，$y=\frac{20 - 18}{2}=1$，符合题意；
当$x=8$时，$y=\frac{20 - 24}{2}=-2$，不符合题意。
所以非负整数解有$4$个。
D
7. (2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装 4 千克荔枝，每个小箱装 3 千克荔枝. 该果农现采摘有 32 千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为(
A.8
B.9
C.10
D.11
C
)A.8
B.9
C.10
D.11
答案：7. C
解析：
设大箱有$x$个，小箱有$y$个，$x$、$y$为正整数。
由题意得：$4x + 3y = 32$，则$y = \frac{32 - 4x}{3}$。
要使$y$为正整数，$32 - 4x$必须是3的倍数且大于0。
当$x = 2$时，$y = \frac{32 - 8}{3} = 8$，箱数为$2 + 8 = 10$；
当$x = 5$时，$y = \frac{32 - 20}{3} = 4$，箱数为$5 + 4 = 9$；
当$x = 8$时，$y = \frac{32 - 32}{3} = 0$，不符合大小箱都要装满的条件。
比较可得，箱数最多为10。
C
由题意得：$4x + 3y = 32$，则$y = \frac{32 - 4x}{3}$。
要使$y$为正整数，$32 - 4x$必须是3的倍数且大于0。
当$x = 2$时，$y = \frac{32 - 8}{3} = 8$，箱数为$2 + 8 = 10$；
当$x = 5$时，$y = \frac{32 - 20}{3} = 4$，箱数为$5 + 4 = 9$；
当$x = 8$时，$y = \frac{32 - 32}{3} = 0$，不符合大小箱都要装满的条件。
比较可得，箱数最多为10。
C
8. (2024·泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果和苦果共一千个，若…，…，试问买甜果和苦果各几个？
若设买甜果$x$个，买苦果$y$个，可列出符合题意的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1000,\\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999\end{cases}$根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( )
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
若设买甜果$x$个，买苦果$y$个，可列出符合题意的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1000,\\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999\end{cases}$根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( )
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
答案：8. D
解析：
由题意得，$x$为甜果个数，$y$为苦果个数，$x + y = 1000$表示甜果和苦果共一千个。
方程组中第二个方程$\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y = 999$，其中$\dfrac{11}{9}$应为甜果的单价（文/个），$\dfrac{4}{7}$应为苦果的单价（文/个）。
即甜果每个$\dfrac{11}{9}$文，所以九个甜果用$9×\dfrac{11}{9}=11$文；苦果每个$\dfrac{4}{7}$文，所以七个苦果用$7×\dfrac{4}{7} = 4$文。
缺失条件为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱。
D
方程组中第二个方程$\dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y = 999$，其中$\dfrac{11}{9}$应为甜果的单价（文/个），$\dfrac{4}{7}$应为苦果的单价（文/个）。
即甜果每个$\dfrac{11}{9}$文，所以九个甜果用$9×\dfrac{11}{9}=11$文；苦果每个$\dfrac{4}{7}$文，所以七个苦果用$7×\dfrac{4}{7} = 4$文。
缺失条件为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱。
D