1. 关于$(a - b)(a^{2} + b) - a(a^{2} - ab + b)$的计算结果,下列说法中正确的是(
A.与字母$a$的取值无关
B.与字母$b$的取值无关
C.与字母$a,b$的取值都无关
D.以上都不正确
A
)A.与字母$a$的取值无关
B.与字母$b$的取值无关
C.与字母$a,b$的取值都无关
D.以上都不正确
答案：1. A
解析：
$\begin{aligned}&(a - b)(a^{2} + b) - a(a^{2} - ab + b)\\=&a^{3} + ab - a^{2}b - b^{2} - (a^{3} - a^{2}b + ab)\\=&a^{3} + ab - a^{2}b - b^{2} - a^{3} + a^{2}b - ab\\=&-b^{2}\end{aligned}$
结果为$-b^{2}$，与字母$a$的取值无关。
A
结果为$-b^{2}$，与字母$a$的取值无关。
A
2. (2025·昆山期末)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 2 ＜ 3x - 6, \\x ＜ m\end{cases}$无解,那么$m$的取值范围是( )
A.$m ＜ 2$
B.$m ＞ 2$
C.$m≤ 2$
D.$m≥ 2$
A.$m ＜ 2$
B.$m ＞ 2$
C.$m≤ 2$
D.$m≥ 2$
答案：2. C
解析：
解不等式组：
1. 解$x - 2 ＜ 3x - 6$，移项得$x - 3x ＜ -6 + 2$，即$-2x ＜ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ 2$。
2. 第二个不等式为$x ＜ m$。
因为不等式组无解，所以$x ＞ 2$与$x ＜ m$没有公共部分，即$m ≤ 2$。
C
1. 解$x - 2 ＜ 3x - 6$，移项得$x - 3x ＜ -6 + 2$，即$-2x ＜ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ 2$。
2. 第二个不等式为$x ＜ m$。
因为不等式组无解，所以$x ＞ 2$与$x ＜ m$没有公共部分，即$m ≤ 2$。
C
3. (2024·溧阳期末)下列命题的逆命题是真命题的是(
A.同位角相等
B.若$x ＞ 0,y ＞ 0$,则$x + y ＞ 0$
C.若$x + y = 0$,则$x$与$y$互为相反数
D.若$a = b$,则$a^{2} = b^{2}$
C
)A.同位角相等
B.若$x ＞ 0,y ＞ 0$,则$x + y ＞ 0$
C.若$x + y = 0$,则$x$与$y$互为相反数
D.若$a = b$,则$a^{2} = b^{2}$
答案：3. C
4. 某校开展消防安全知识竞赛,计划拿出 1800 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买)奖励表现突出的班级,已知甲种奖品每件 150 元,乙种奖品每件 100 元,则购买方案有(
A.5 种
B.6 种
C.7 种
D.8 种
A
)A.5 种
B.6 种
C.7 种
D.8 种
答案：4. A
解析：
设购买甲种奖品$x$件，乙种奖品$y$件。
由题意得：$150x + 100y = 1800$，化简得$3x + 2y = 36$，即$y = \frac{36 - 3x}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$36 - 3x$必须为正偶数，$3x$为偶数，$x$为偶数。
$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，则$\frac{36 - 3x}{2} ＞ 0$，解得$x ＜ 12$。
$x$可取2，4，6，8，10，共5种。
A
由题意得：$150x + 100y = 1800$，化简得$3x + 2y = 36$，即$y = \frac{36 - 3x}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$36 - 3x$必须为正偶数，$3x$为偶数，$x$为偶数。
$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，则$\frac{36 - 3x}{2} ＞ 0$，解得$x ＜ 12$。
$x$可取2，4，6，8，10，共5种。
A
5. 已知$1 = 1^{2},1 + 3 = 2^{2},1 + 3 + 5 = 3^{2},···$,则$1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 2025 = $(
A.$1012^{2}$
B.$1013^{2}$
C.$2024^{2}$
D.$2025^{2}$
B
)A.$1012^{2}$
B.$1013^{2}$
C.$2024^{2}$
D.$2025^{2}$
答案：5. B
解析：
观察已知等式：$1 = 1^{2}$，$1 + 3 = 2^{2}$，$1 + 3 + 5 = 3^{2}$，···，规律为从1开始的连续n个奇数的和等于$n^{2}$。
数列$1, 3, 5, ···, 2025$是首项为1，公差为2的等差数列，设项数为n，由通项公式$a_n = 1 + (n - 1)×2 = 2n - 1$，令$2n - 1 = 2025$，解得$n = 1013$。
所以$1 + 3 + 5 + ··· + 2025 = 1013^{2}$
B
数列$1, 3, 5, ···, 2025$是首项为1，公差为2的等差数列，设项数为n，由通项公式$a_n = 1 + (n - 1)×2 = 2n - 1$，令$2n - 1 = 2025$，解得$n = 1013$。
所以$1 + 3 + 5 + ··· + 2025 = 1013^{2}$
B
6. 若$2x^{2} - x - 7 = 0$,则$x(x - 3) + (x + 1)^{2} = $
8
.答案：6. 8
解析：
$x(x - 3) + (x + 1)^{2}$
$=x^{2}-3x+x^{2}+2x + 1$
$=2x^{2}-x + 1$
因为$2x^{2}-x - 7 = 0$，所以$2x^{2}-x=7$。
则$2x^{2}-x + 1=7 + 1=8$
8
$=x^{2}-3x+x^{2}+2x + 1$
$=2x^{2}-x + 1$
因为$2x^{2}-x - 7 = 0$，所以$2x^{2}-x=7$。
则$2x^{2}-x + 1=7 + 1=8$
8
7. 当$x = $
-1 或 -2
时,$(2x + 3)^{x + 2} = 1$.答案：7. -1 或 -2
解析：
分三种情况讨论：
1. 当指数为0，底数不为0时：$x + 2 = 0$，解得$x = -2$，此时底数$2x + 3 = 2×(-2) + 3 = -1 ≠ 0$，符合题意；
2. 当底数为1时：$2x + 3 = 1$，解得$x = -1$，此时指数$x + 2 = -1 + 2 = 1$，$1^1 = 1$，符合题意；
3. 当底数为-1，指数为偶数时：$2x + 3 = -1$，解得$x = -2$，此时指数$x + 2 = 0$，$0$是偶数，$(-1)^0 = 1$，但此情况与第一种情况结果相同。
综上，$x = -1$或$x = -2$。
-1 或 -2
1. 当指数为0，底数不为0时：$x + 2 = 0$，解得$x = -2$，此时底数$2x + 3 = 2×(-2) + 3 = -1 ≠ 0$，符合题意；
2. 当底数为1时：$2x + 3 = 1$，解得$x = -1$，此时指数$x + 2 = -1 + 2 = 1$，$1^1 = 1$，符合题意；
3. 当底数为-1，指数为偶数时：$2x + 3 = -1$，解得$x = -2$，此时指数$x + 2 = 0$，$0$是偶数，$(-1)^0 = 1$，但此情况与第一种情况结果相同。
综上，$x = -1$或$x = -2$。
-1 或 -2
8. 如图,一副三角尺按如图所示放置($∠ C = 60^{\circ},∠ D = 45^{\circ}$),则$∠ DFB = $
75°
.答案：8. 75°
解析：
解：由题意知，三角尺中，$∠C=60^{\circ}$，$∠D=45^{\circ}$，则$∠ABC=30^{\circ}$，$∠BAD=90^{\circ}$，$∠ABD=45^{\circ}$。
在$△ ABE$中，$∠AEB=180^{\circ}-∠A-∠ABE=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，所以$∠FED=∠AEB=60^{\circ}$。
在$△ FED$中，$∠DFB=∠D+∠FED=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$。
$75^{\circ}$
在$△ ABE$中，$∠AEB=180^{\circ}-∠A-∠ABE=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，所以$∠FED=∠AEB=60^{\circ}$。
在$△ FED$中，$∠DFB=∠D+∠FED=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$。
$75^{\circ}$
9. (2024·大庆)不等式组$\begin{cases}x ＞ \dfrac{x - 2}{2}, \\5x - 3 ＜ 9 + x\end{cases}$的整数解有 ______ 个.
答案：9. 4
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $x ＞ \dfrac{x - 2}{2}$：
两边同乘2得：$2x ＞ x - 2$，
移项得：$2x - x ＞ -2$，
解得：$x ＞ -2$。
2. 解不等式 $5x - 3 ＜ 9 + x$：
移项得：$5x - x ＜ 9 + 3$，
合并同类项得：$4x ＜ 12$，
解得：$x ＜ 3$。
不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 3$，整数解为$-1, 0, 1, 2$，共4个。
4
1. 解不等式 $x ＞ \dfrac{x - 2}{2}$：
两边同乘2得：$2x ＞ x - 2$，
移项得：$2x - x ＞ -2$，
解得：$x ＞ -2$。
2. 解不等式 $5x - 3 ＜ 9 + x$：
移项得：$5x - x ＜ 9 + 3$，
合并同类项得：$4x ＜ 12$，
解得：$x ＜ 3$。
不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 3$，整数解为$-1, 0, 1, 2$，共4个。
4