1. 下列运算正确的是(
A.$ a^{2} · a^{4}=a^{8} $
B.$ (a - 3)^{2}=a^{2}-9 $
C.$ a^{3}+a^{3}=a^{6} $
D.$ (2ab^{2})^{2}=4a^{2}b^{4} $
D
)A.$ a^{2} · a^{4}=a^{8} $
B.$ (a - 3)^{2}=a^{2}-9 $
C.$ a^{3}+a^{3}=a^{6} $
D.$ (2ab^{2})^{2}=4a^{2}b^{4} $
答案：1. D
2. (2025·宿豫区期末)如果$ a ＜ b $,下列各式中正确的是(
A.$ a c^{2}＜b c^{2} $
B.$ \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $
C.$ -3 a＞-3 b $
D.$ \frac{a}{4}＞\frac{b}{4} $
C
)A.$ a c^{2}＜b c^{2} $
B.$ \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $
C.$ -3 a＞-3 b $
D.$ \frac{a}{4}＞\frac{b}{4} $
答案：2. C
3. 一个多边形的每个内角都等于$ 135^{\circ} $,则这个多边形的边数为(
A.8
B.9
C.10
D.11
A
)A.8
B.9
C.10
D.11
答案：3. A
解析：
设这个多边形的边数为$n$。
因为多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，且每个内角都等于$135^{\circ}$，所以可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ} = 135^{\circ}×n$
$180n - 360 = 135n$
$180n - 135n = 360$
$45n = 360$
$n = 8$
A
因为多边形的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$，且每个内角都等于$135^{\circ}$，所以可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ} = 135^{\circ}×n$
$180n - 360 = 135n$
$180n - 135n = 360$
$45n = 360$
$n = 8$
A
4. 若$ x = 3^{5}, y = 2^{3} $,则$ 6^{15} $用$ x,y $表示为(
A.$ x y $
B.$ x^{15} y^{15} $
C.$ x^{5} y^{3} $
D.$ x^{3} y^{5} $
D
)A.$ x y $
B.$ x^{15} y^{15} $
C.$ x^{5} y^{3} $
D.$ x^{3} y^{5} $
答案：4. D
解析：
因为$x = 3^{5}$，$y = 2^{3}$，所以$6^{15}=(2×3)^{15}=2^{15}×3^{15}$。
又因为$2^{15}=(2^{3})^{5}=y^{5}$，$3^{15}=(3^{5})^{3}=x^{3}$，所以$6^{15}=x^{3}y^{5}$。
D
又因为$2^{15}=(2^{3})^{5}=y^{5}$，$3^{15}=(3^{5})^{3}=x^{3}$，所以$6^{15}=x^{3}y^{5}$。
D
5. 如图,把一张长方形纸条$ ABCD $沿$ EF $折叠,$ C,D $两点分别落在点$ C^{\prime}, D^{\prime} $处.已知$ ∠ D A C = 20^{\circ} $,且$ C^{\prime} D^{\prime} // A C $,则$ ∠ A E F $的度数为(
A.$ 20^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $
B
)A.$ 20^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $
答案：5. B
解析：
解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是长方形，
∴ $AD // BC$，$∠ ADC = 90°$。
∵ $∠ DAC = 20°$，
∴ $∠ ACD = 90° - 20° = 70°$。
∵ $C'D' // AC$，
∴ $∠ C'EC = ∠ ACD = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质，$∠ C'EF = ∠ CEF$，
∴ $∠ CEF = \frac{1}{2} ∠ C'EC = 35°$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ AEF = ∠ CEF = 35°$（两直线平行，内错角相等）。
答案：B
∵ 四边形 $ABCD$ 是长方形，
∴ $AD // BC$，$∠ ADC = 90°$。
∵ $∠ DAC = 20°$，
∴ $∠ ACD = 90° - 20° = 70°$。
∵ $C'D' // AC$，
∴ $∠ C'EC = ∠ ACD = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质，$∠ C'EF = ∠ CEF$，
∴ $∠ CEF = \frac{1}{2} ∠ C'EC = 35°$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ AEF = ∠ CEF = 35°$（两直线平行，内错角相等）。
答案：B
6. 计算:$ \frac{2022^{2}-2040^{2}-18^{2}}{2040 × 18}= $
-2
.答案：6. -2
解析：
$\begin{aligned}&\frac{2022^{2}-2040^{2}-18^{2}}{2040×18}\\=&\frac{2022^{2}-(2040^{2}+18^{2})}{2040×18}\\=&\frac{2022^{2}-(2040^{2}+2×2040×18 + 18^{2}-2×2040×18)}{2040×18}\\=&\frac{2022^{2}-(2040 + 18)^{2}+2×2040×18}{2040×18}\\=&\frac{2022^{2}-2058^{2}+2×2040×18}{2040×18}\\=&\frac{(2022 - 2058)(2022 + 2058)+2×2040×18}{2040×18}\\=&\frac{(-36)×4080 + 2×2040×18}{2040×18}\\=&\frac{-36×2×2040 + 2×2040×18}{2040×18}\\=&\frac{-72×2040 + 36×2040}{2040×18}\\=&\frac{(-72 + 36)×2040}{2040×18}\\=&\frac{-36×2040}{2040×18}\\=&-2\end{aligned}$
7. (2024·秦淮区期中)如图,在$ △ A B C $中,$ ∠ B A C = 90^{\circ}, A B = 3, A C = 4, B C = 5 $,将$ △ A B C $沿直线$ B C $向右平移2个单位长度得到$ △ D E F $,连接$ A D $.有下列结论:①$ A C // D F, A C = D F $;②$ E D ⊥ D F $;③四边形$ A B F D $的周长是16;④$ A D: E C = 2: 3 $.其中正确的结论是
①②③④
. (填序号)答案：7. ①②③④
解析：
证明：
①
∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到△DEF，
∴AC//DF，AC=DF，故①正确；
②
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，平移得DE=AB=3，DF=AC=4，∠EDF=∠BAC=90°，
∴ED⊥DF，故②正确；
③
∵平移距离为2，
∴AD=CF=2，BF=BC+CF=5+2=7，
四边形ABFD的周长=AB+BF+FD+DA=3+7+4+2=16，故③正确；
④
∵EC=BC-BE=5-2=3，AD=2，
∴AD:EC=2:3，故④正确。
综上，正确的结论是①②③④。
①
∵△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到△DEF，
∴AC//DF，AC=DF，故①正确；
②
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，平移得DE=AB=3，DF=AC=4，∠EDF=∠BAC=90°，
∴ED⊥DF，故②正确；
③
∵平移距离为2，
∴AD=CF=2，BF=BC+CF=5+2=7，
四边形ABFD的周长=AB+BF+FD+DA=3+7+4+2=16，故③正确；
④
∵EC=BC-BE=5-2=3，AD=2，
∴AD:EC=2:3，故④正确。
综上，正确的结论是①②③④。
8. 命题“同号两数的和一定不是负数”的条件是
两个数同号
,结论是它们的和一定不是负数
.答案：8. 两个数同号 它们的和一定不是负数
9. 若关于$ x $的不等式组$ \{\begin{array}{l} \frac{x - 3}{2} ≥ \frac{2 x + 1}{3}-3, \\ 2 x - m＞5 \end{array} $至少有3个整数解,则$ m $的取值范围是 ______ .
答案：9. $ m ＜ 5 $
解析：
解不等式$\frac{x - 3}{2} ≥ \frac{2x + 1}{3}-3$：
去分母，得$3(x - 3) ≥ 2(2x + 1)-18$，
去括号，得$3x - 9 ≥ 4x + 2 - 18$，
移项，得$3x - 4x ≥ 2 - 18 + 9$，
合并同类项，得$-x ≥ -7$，
系数化为$1$，得$x ≤ 7$。
解不等式$2x - m＞5$：
移项，得$2x＞5 + m$，
系数化为$1$，得$x＞\frac{5 + m}{2}$。
所以不等式组的解集为$\frac{5 + m}{2}＜x ≤ 7$。
因为不等式组至少有$3$个整数解，即$5$，$6$，$7$，
所以$\frac{5 + m}{2}＜5$，
解得$m＜5$。
$m＜5$
去分母，得$3(x - 3) ≥ 2(2x + 1)-18$，
去括号，得$3x - 9 ≥ 4x + 2 - 18$，
移项，得$3x - 4x ≥ 2 - 18 + 9$，
合并同类项，得$-x ≥ -7$，
系数化为$1$，得$x ≤ 7$。
解不等式$2x - m＞5$：
移项，得$2x＞5 + m$，
系数化为$1$，得$x＞\frac{5 + m}{2}$。
所以不等式组的解集为$\frac{5 + m}{2}＜x ≤ 7$。
因为不等式组至少有$3$个整数解，即$5$，$6$，$7$，
所以$\frac{5 + m}{2}＜5$，
解得$m＜5$。
$m＜5$
10. 如图,在$ △ A B C $中,$ ∠ C A B = n^{\circ}, ∠ C B A = m^{\circ}, D $是$ △ A B C $三个内角平分线的交点,延长$ D B $到点$ G, ∠ F C B $与$ ∠ C B G $的平分线交于点$ E $.若$ B E // A C $,则$ \frac{4}{5} n + \frac{3}{5} m = $
$ 72^{\circ} $
.答案：10. $ 72^{\circ} $
解析：
证明：
∵D是△ABC内角平分线交点，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{m^{\circ}}{2}$，∠BAD=∠CAD=$\frac{n^{\circ}}{2}$，∠ACD=∠BCD=$\frac{180^{\circ}-n^{\circ}-m^{\circ}}{2}$=90°-$\frac{n^{\circ}+m^{\circ}}{2}$．
∵∠CBG是∠CBA的邻补角，
∴∠CBG=180°-m°，
∵BE平分∠CBG，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBG=90°-$\frac{m^{\circ}}{2}$．
∵BE//AC，
∴∠ACB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
即180°-n°-m°=90°-$\frac{m^{\circ}}{2}$，
化简得：n°+$\frac{m^{\circ}}{2}$=90°，
两边同乘$\frac{4}{5}$：$\frac{4}{5}n^{\circ}$+$\frac{2}{5}m^{\circ}$=72°，
两边加$\frac{1}{5}m^{\circ}$：$\frac{4}{5}n^{\circ}$+$\frac{3}{5}m^{\circ}$=72°+$\frac{1}{5}m^{\circ}$．
又
∵∠FCB+∠ACB=180°，CE平分∠FCB，
∠ECB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∠E=180°-∠ECB-∠CBE=180°-[90°-$\frac{1}{2}$∠ACB]-[90°-$\frac{m^{\circ}}{2}$]=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{m^{\circ}}{2}$，
由∠ACB=180°-n°-m°，代入得∠E=90°-$\frac{n^{\circ}}{2}$，
结合BE//AC得∠E=∠ACF=∠FCB=180°-∠ACB，
即90°-$\frac{n^{\circ}}{2}$=180°-(180°-n°-m°)，
化简得：90°-$\frac{n^{\circ}}{2}$=n°+m°，
联立n°+$\frac{m^{\circ}}{2}$=90°，解得n°=36°，m°=108°，
∴$\frac{4}{5}n^{\circ}$+$\frac{3}{5}m^{\circ}$=$\frac{4}{5}$×36°+$\frac{3}{5}$×108°=72°．
72°
∵D是△ABC内角平分线交点，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{m^{\circ}}{2}$，∠BAD=∠CAD=$\frac{n^{\circ}}{2}$，∠ACD=∠BCD=$\frac{180^{\circ}-n^{\circ}-m^{\circ}}{2}$=90°-$\frac{n^{\circ}+m^{\circ}}{2}$．
∵∠CBG是∠CBA的邻补角，
∴∠CBG=180°-m°，
∵BE平分∠CBG，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBG=90°-$\frac{m^{\circ}}{2}$．
∵BE//AC，
∴∠ACB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
即180°-n°-m°=90°-$\frac{m^{\circ}}{2}$，
化简得：n°+$\frac{m^{\circ}}{2}$=90°，
两边同乘$\frac{4}{5}$：$\frac{4}{5}n^{\circ}$+$\frac{2}{5}m^{\circ}$=72°，
两边加$\frac{1}{5}m^{\circ}$：$\frac{4}{5}n^{\circ}$+$\frac{3}{5}m^{\circ}$=72°+$\frac{1}{5}m^{\circ}$．
又
∵∠FCB+∠ACB=180°，CE平分∠FCB，
∠ECB=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∠E=180°-∠ECB-∠CBE=180°-[90°-$\frac{1}{2}$∠ACB]-[90°-$\frac{m^{\circ}}{2}$]=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{m^{\circ}}{2}$，
由∠ACB=180°-n°-m°，代入得∠E=90°-$\frac{n^{\circ}}{2}$，
结合BE//AC得∠E=∠ACF=∠FCB=180°-∠ACB，
即90°-$\frac{n^{\circ}}{2}$=180°-(180°-n°-m°)，
化简得：90°-$\frac{n^{\circ}}{2}$=n°+m°，
联立n°+$\frac{m^{\circ}}{2}$=90°，解得n°=36°，m°=108°，
∴$\frac{4}{5}n^{\circ}$+$\frac{3}{5}m^{\circ}$=$\frac{4}{5}$×36°+$\frac{3}{5}$×108°=72°．
72°