1. 某次运动会男、女运动员的比例为 $ 19:12 $, 组委会决定增加女子艺术体操项目, 这样男、女运动员比例变为 $ 20:13 $, 后来又决定再增加男子象棋项目, 于是这个比例又变为 $ 30:19 $. 已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多 30 人, 那么运动员最后的总人数为 (
A.6280
B.6370
C.6450
D.6615
B
)A.6280
B.6370
C.6450
D.6615
答案：1. B 点拨:设原来男、女运动员分别有 19x 人,12x 人,女子艺术体操运动员有 y 人,男子象棋运动员有$(y + 30)$人,根据题意,得$\{\begin{array}{l} 19x:(12x + y)=20:13,\\ (19x + y + 30):(12x + y)=30:19,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 200,\\ y = 70.\end{array} $所以运动员最后的总人数为$19x + y + 30 + 12x + y = 31x + 2y + 30 = 31×200 + 2×70 + 30 = 6370.$
2. 某公园的门票价格如下表:
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园, 这两个部门的人数分别为 $ a $ 和 $ b(a ≥ b) $. 若按部门作为团体, 选择两个不同的时间分别购票游览公园, 则共需支付门票费用为 1290 元; 若两个部门合在一起作为一个团体, 同一时间购票游览公园, 则共需支付门票费用为 990 元, 那么这两个部门的人数 $ a = $
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园, 这两个部门的人数分别为 $ a $ 和 $ b(a ≥ b) $. 若按部门作为团体, 选择两个不同的时间分别购票游览公园, 则共需支付门票费用为 1290 元; 若两个部门合在一起作为一个团体, 同一时间购票游览公园, 则共需支付门票费用为 990 元, 那么这两个部门的人数 $ a = $
70
, $ b = $40
.答案：2. 70 40 点拨:因为$\frac{990}{13}=76\frac{2}{13}$,所以$a + b≥51$.因为$\frac{1290}{13}=99\frac{3}{13},\frac{1290}{11}=117\frac{3}{11},\frac{1290}{9}=143\frac{1}{3},\frac{990}{11}=90$,$\frac{990}{9}=110$,所以$1≤b≤50,a≥51$.若$a + b≤100$,则$\{\begin{array}{l} 13b + 11a = 1290,\\ 11(a + b)=990,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = - 60,\\ b = 150\end{array} $(不合题意,舍去).若$a + b＞100$,则$\{\begin{array}{l} 13b + 11a = 1290,\\ 9(a + b)=990\end{array} $或$\{\begin{array}{l} 13b + 9a = 1290,\\ 9(a + b)=990,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 70,\\ b = 40\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a = 35,\\ b = 75\end{array} $(不合题意,舍去).综上,$a = 70,b = 40.$
解析：
因为$\frac{990}{13}=76\frac{2}{13}$，所以$a + b≥51$。因为$\frac{1290}{13}=99\frac{3}{13}$，$\frac{1290}{11}=117\frac{3}{11}$，$\frac{1290}{9}=143\frac{1}{3}$，$\frac{990}{11}=90$，$\frac{990}{9}=110$，所以$1≤ b≤50$，$a≥51$。
若$a + b≤100$，则$\begin{cases}13b + 11a = 1290\\11(a + b)=990\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-60\\b=150\end{cases}$（不合题意，舍去）。
若$a + b＞100$，则$\begin{cases}13b + 11a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$或$\begin{cases}13b + 9a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$。
解$\begin{cases}13b + 11a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$，由$9(a + b)=990$得$a + b=110$，即$a=110 - b$，代入$13b + 11a = 1290$，得$13b + 11(110 - b)=1290$，$13b + 1210 - 11b=1290$，$2b=80$，$b=40$，$a=110 - 40=70$。
解$\begin{cases}13b + 9a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$，由$9(a + b)=990$得$a + b=110$，即$a=110 - b$，代入$13b + 9a = 1290$，得$13b + 9(110 - b)=1290$，$13b + 990 - 9b=1290$，$4b=300$，$b=75$，$a=110 - 75=35$（因为$a≥ b$，不合题意，舍去）。
综上，$a = 70$，$b = 40$。
70 40
若$a + b≤100$，则$\begin{cases}13b + 11a = 1290\\11(a + b)=990\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-60\\b=150\end{cases}$（不合题意，舍去）。
若$a + b＞100$，则$\begin{cases}13b + 11a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$或$\begin{cases}13b + 9a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$。
解$\begin{cases}13b + 11a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$，由$9(a + b)=990$得$a + b=110$，即$a=110 - b$，代入$13b + 11a = 1290$，得$13b + 11(110 - b)=1290$，$13b + 1210 - 11b=1290$，$2b=80$，$b=40$，$a=110 - 40=70$。
解$\begin{cases}13b + 9a = 1290\\9(a + b)=990\end{cases}$，由$9(a + b)=990$得$a + b=110$，即$a=110 - b$，代入$13b + 9a = 1290$，得$13b + 9(110 - b)=1290$，$13b + 990 - 9b=1290$，$4b=300$，$b=75$，$a=110 - 75=35$（因为$a≥ b$，不合题意，舍去）。
综上，$a = 70$，$b = 40$。
70 40
3. 某生态柑橘园现有柑橘 21 吨, 计划租用 A, B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售. 已知满载时, 用 2 辆 A 型车和 3 辆 B 型车一次可运柑橘 12 吨; 用 3 辆 A 型车和 4 辆 B 型车一次可运柑橘 17 吨.
(1) 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨?
(2) 若计划租用 A 型车 $ m $ 辆, B 型车 $ n $ 辆, 两种车型都要有, 一次运完全部柑橘, 且每辆车均为满载.
① 请帮柑橘园设计租车方案;
② 若 A 型车每辆需租金 120 元, B 型车每辆需租金 100 元. 请选出最省钱的租车方案, 并求出最少租车费用.
(1) 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨?
(2) 若计划租用 A 型车 $ m $ 辆, B 型车 $ n $ 辆, 两种车型都要有, 一次运完全部柑橘, 且每辆车均为满载.
① 请帮柑橘园设计租车方案;
② 若 A 型车每辆需租金 120 元, B 型车每辆需租金 100 元. 请选出最省钱的租车方案, 并求出最少租车费用.
答案：3. 解:(1)设 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车满载时一次分别运柑橘 x 吨,y 吨,根据题意,得$\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 12,\\ 3x + 4y = 17,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 2.\end{array} $答:1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车满载时一次分别运柑橘 3 吨,2 吨.
(2)①由题意,得$3m + 2n = 21$,所以$m = 7 - \frac{2}{3}n$.又因为 m,n 均为正整数,所以,当$n = 3$时,$m = 5$;当$n = 6$时,$m = 3$;当$n = 9$时,$m = 1$.所以共有 3 种租车方案:方案 1:租用 5 辆 A 型车,3 辆 B 型车;方案 2:租用 3 辆 A 型车,6 辆 B 型车;方案 3:租用 1 辆 A 型车,9 辆 B 型车.②按方案 1,租车费用为$120×5 + 100×3 = 900$(元).按方案 2,租车费用为$120×3 + 100×6 = 960$(元).按方案 3,租车费用为$120×1 + 100×9 = 1020$(元).因为$900 ＜ 960 ＜ 1020$,所以按方案 1 租车最省钱,最少租车费用为 900 元.
(2)①由题意,得$3m + 2n = 21$,所以$m = 7 - \frac{2}{3}n$.又因为 m,n 均为正整数,所以,当$n = 3$时,$m = 5$;当$n = 6$时,$m = 3$;当$n = 9$时,$m = 1$.所以共有 3 种租车方案:方案 1:租用 5 辆 A 型车,3 辆 B 型车;方案 2:租用 3 辆 A 型车,6 辆 B 型车;方案 3:租用 1 辆 A 型车,9 辆 B 型车.②按方案 1,租车费用为$120×5 + 100×3 = 900$(元).按方案 2,租车费用为$120×3 + 100×6 = 960$(元).按方案 3,租车费用为$120×1 + 100×9 = 1020$(元).因为$900 ＜ 960 ＜ 1020$,所以按方案 1 租车最省钱,最少租车费用为 900 元.