1. 某学校为了增强学生体质,决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械. 七年级(1)班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共 5 件,已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高. 在付款时,小亮问是不是 30 元,但收银员却说一共 45 元,小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了,则小亮实际购买情况是(
A.1 根跳绳,4 个毽子
B.3 根跳绳,2 个毽子
C.2 根跳绳,3 个毽子
D.4 根跳绳,1 个毽子
D
)A.1 根跳绳,4 个毽子
B.3 根跳绳,2 个毽子
C.2 根跳绳,3 个毽子
D.4 根跳绳,1 个毽子
答案：1. D 点拨:设小亮实际购买跳绳 x 根,毽子 y 个,则$x + y = 5$,所以$x - y ＜ 5$且$x - y$是正整数. 设跳绳的单价为 m 元,毽子的单价为 n 元,且$m ＞ n$,所以$m - n ＞ 0$,且$m - n$是正整数. 根据题意,得$\begin{cases} nx + my = 30,① \\ mx + ny = 45,② \end{cases}$由①+②,得$(m + n)(x + y) = 75$,即$5(m + n) = 75$,$m + n = 15$,所以$m - n ＜ 15$. 由②-①,得$(m - n)(x - y) = 15$,所以$m - n = 5$,$x - y = 3$. 由$\begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = 5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 4, \\ y = 1. \end{cases}$
2. 某班学生参加智力竞赛,共 10 道题,答题情况统计如下表:
且满足以下 2 种情况:①对答对 4 题及 4 题以上的学生来说,每人平均答对 7 题;②对答对 7 题及 7 题以下的学生来说,每人平均答对 5 题. 该班学生共有
且满足以下 2 种情况:①对答对 4 题及 4 题以上的学生来说,每人平均答对 7 题;②对答对 7 题及 7 题以下的学生来说,每人平均答对 5 题. 该班学生共有
55
人参加智力竞赛.答案：2. 55 点拨:设答对 4~7 题的有 x 人,共答对 y 题,根据题意,得$\begin{cases} y + 8×8 + 9×4 + 10×1 = 7(x + 8 + 4 + 1), \\ 1×2 + 2×5 + 3×7 + y = 5(2 + 5 + 7 + x), \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 28, \\ y = 177, \end{cases}$所以参加竞赛的学生人数为$2 + 5 + 7 + 28 + 8 + 4 + 1 = 55$.
3. 两个小伙伴共带 100 个鸡蛋去卖,一个带得多,一个带得少,但卖了同样的价钱,一个对另一个说:“如果我有你那么多鸡蛋,我能卖 15 元.”另一个说:“如果我有你那么多鸡蛋,只能卖$\frac{20}{3}$元.”问两人各有多少个鸡蛋?
答案：3. 解:设第一个小伙伴有 x 个鸡蛋,第一个小伙伴鸡蛋的单价为 a 元,第二个小伙伴鸡蛋的单价为 b 元,根据题意,得$\begin{cases} ax = (100 - x)b, \\ a(100 - x) = 15, \\ bx = \dfrac{20}{3}, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = \dfrac{1}{4}, \\ b = \dfrac{1}{6}, \\ x = 40, \end{cases}$所以$100 - x = 60$.
答:第一个小伙伴有 40 个鸡蛋,第二个小伙伴有 60 个鸡蛋.
答:第一个小伙伴有 40 个鸡蛋,第二个小伙伴有 60 个鸡蛋.