1. 定义：对于任意数 $ a $，符号 $ [a] $ 表示不大于 $ a $ 的最大整数，例如，$ [5.8]=5 $，$ [1]=1 $，$ [-π]=-4 $. 若 $ [a]=-6 $，则 $ a $ 的取值范围是(
A.$ a ≥ -6 $
B.$ -6 ≤ a ＜ -5 $
C.$ -6 ＜ a ＜ -5 $
D.$ -7 ＜ a ≤ -6 $
B
)A.$ a ≥ -6 $
B.$ -6 ≤ a ＜ -5 $
C.$ -6 ＜ a ＜ -5 $
D.$ -7 ＜ a ≤ -6 $
答案：1. B
解析：
由定义知，$[a]$表示不大于$a$的最大整数。因为$[a] = -6$，所以$a$的取值范围是$-6 ≤ a ＜ -5$。
B
B
2. (2024·全国竞赛)七年级(1)班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的 $\frac{1}{6}$，获二等奖的人数占全班人数的 $\frac{1}{3}$，获三等奖的人数占全班人数的 $\frac{3}{7}$，还有不足 6 人未获奖，则七年级(1)班共有学生
42
名.答案：2. 42 点拨：设七年级(1)班共有x人，根据题意，得$(1-\frac {1}{6}-\frac {1}{3}-\frac {3}{7})x＜6$，解得$x＜84$。因为x必须是3，6，7的公倍数，而3，6，7的公倍中小于84的只有42，故七年级(1)班共有学生42名。
解析：
设七年级(1)班共有$x$人，根据题意，得$(1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} - \frac{3}{7})x ＜ 6$。
计算括号内的值：$1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} - \frac{3}{7} = \frac{42}{42} - \frac{7}{42} - \frac{14}{42} - \frac{18}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$，则$\frac{1}{14}x ＜ 6$，解得$x ＜ 84$。
因为$x$需为$6$、$3$、$7$的公倍数，$6$、$3$、$7$的最小公倍数为$42$，小于$84$的公倍数只有$42$，所以$x = 42$。
42
计算括号内的值：$1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} - \frac{3}{7} = \frac{42}{42} - \frac{7}{42} - \frac{14}{42} - \frac{18}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$，则$\frac{1}{14}x ＜ 6$，解得$x ＜ 84$。
因为$x$需为$6$、$3$、$7$的公倍数，$6$、$3$、$7$的最小公倍数为$42$，小于$84$的公倍数只有$42$，所以$x = 42$。
42
3. 规律探究：你能比较 $ 2024^{2025} $ 和 $ 2025^{2024} $ 的大小吗？
为了解决这个问题，我们可先探索形如 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^n $ 的大小关系($ n ≥ 1 $，且 $ n $ 为自然数). 为了探索其规律，可从 $ n = 1 $，$ n = 2 $，$ n = 3 ··· ··· $ 这些简单的情形入手，从中观察、比较、猜想、归纳，并得出结论.
(1)利用计算器比较下列各组中两个数的大小：(填“$ ＜ $”或“$ ＞ $”)
① $ 1^2 $
(2)试归纳出 $ n^{n + 1} $ 与 $ (n + 1)^n $ 的大小关系：
① 当 $ n = 1 $ 或 $ n = 2 $ 时，
(3)运用归纳的结论，可知 $ 2024^{2025} $
为了解决这个问题，我们可先探索形如 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^n $ 的大小关系($ n ≥ 1 $，且 $ n $ 为自然数). 为了探索其规律，可从 $ n = 1 $，$ n = 2 $，$ n = 3 ··· ··· $ 这些简单的情形入手，从中观察、比较、猜想、归纳，并得出结论.
(1)利用计算器比较下列各组中两个数的大小：(填“$ ＜ $”或“$ ＞ $”)
① $ 1^2 $
＜
$ 2^1 $；② $ 2^3 $＜
$ 3^2 $；③ $ 3^4 $＞
$ 4^3 $；④ $ 4^5 $＞
$ 5^4 $；⑤ $ 5^6 $＞
$ 6^5 $.(2)试归纳出 $ n^{n + 1} $ 与 $ (n + 1)^n $ 的大小关系：
① 当 $ n = 1 $ 或 $ n = 2 $ 时，
$n^{n+1}＜(n+1)^{n}$
；② 当 $ n ≥ $3
时，$n^{n+1}＞(n+1)^{n}$
.(3)运用归纳的结论，可知 $ 2024^{2025} $
＞
$ 2025^{2024} $.答案：3. (1)①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤＞
(2)①$n^{n+1}＜(n+1)^{n}$ ②3 $n^{n+1}＞(n+1)^{n}$
(3)＞
(2)①$n^{n+1}＜(n+1)^{n}$ ②3 $n^{n+1}＞(n+1)^{n}$
(3)＞