1. (2024·南通十三校联考)已知 $a,b(a≠ b)$ 满足 $a^{2}+b^{2}+ab = 6,\frac{3}{2}＜ ab＜\frac{5}{2}$. 当 $a - b$ 为整数时，$a - b=$ (
A.2 或 1
B.-2 或 1
C.-1 或 2
D.-1 或 1
D
)A.2 或 1
B.-2 或 1
C.-1 或 2
D.-1 或 1
答案：1. D 点拨: 因为 $ a^{2}+b^{2}+ab = 6 $，所以 $ (a - b)^{2}+3ab = 6 $，所以 $ ab = 2-\frac{1}{3}(a - b)^{2} $。因为 $ \frac{3}{2}＜ ab＜\frac{5}{2} $，所以 $ \frac{3}{2}＜ 2-\frac{1}{3}(a - b)^{2}＜\frac{5}{2} $，所以 $ -\frac{3}{2}＜(a - b)^{2}＜\frac{3}{2} $。因为 $ (a - b)^{2}＞0 $，所以 $ 0＜(a - b)^{2}＜\frac{3}{2} $。因为 $ a - b $ 为整数，所以 $ a - b = 1 $ 或 $ a - b = -1 $。
2. 已知 $\frac{2x - 1}{3}+1≥ x-\frac{5 - 3x}{2}$，则代数式 $|2 - x|-|x + 3|$ 的最大值与最小值的差是
$\frac{104}{11}$
.答案：2. $ \frac{104}{11} $ 点拨: 解不等式得 $ x≤\frac{19}{11} $，若 $ -3≤ x≤\frac{19}{11} $，则 $ |2 - x|-|x + 3| = 2 - x-(x + 3)=-1 - 2x $，当 $ x = \frac{19}{11} $ 时，有最小值 $ -\frac{49}{11} $；当 $ x = -3 $ 时，有最大值 5。若 $ x＜ - 3 $，则 $ |2 - x|-|x + 3| = 2 - x-[- (x + 3)] = 5 $，所以当 $ x＜ - 3 $ 时， $ |2 - x|-|x + 3| $ 恒等于 5(最大值)。综上，代数式 $ |2 - x|-|x + 3| $ 的最大值与最小值的差是 $ 5-(-\frac{49}{11})=\frac{104}{11} $。
解析：
解：解不等式$\frac{2x - 1}{3}+1≥ x-\frac{5 - 3x}{2}$，
两边同乘6得：$2(2x - 1)+6≥6x - 3(5 - 3x)$，
去括号：$4x - 2 + 6≥6x - 15 + 9x$，
移项合并：$4x + 4≥15x - 15$，
$-11x≥ - 19$，
解得$x≤\frac{19}{11}$。
当$-3≤x≤\frac{19}{11}$时，$|2 - x|-|x + 3|=2 - x-(x + 3)=-1 - 2x$，
$x=\frac{19}{11}$时，最小值为$-1 - 2×\frac{19}{11}=-\frac{49}{11}$；
$x = - 3$时，最大值为$-1 - 2×(-3)=5$。
当$x＜ - 3$时，$|2 - x|-|x + 3|=2 - x + (x + 3)=5$。
综上，最大值为5，最小值为$-\frac{49}{11}$，差为$5 - (-\frac{49}{11})=\frac{104}{11}$。
$\frac{104}{11}$
两边同乘6得：$2(2x - 1)+6≥6x - 3(5 - 3x)$，
去括号：$4x - 2 + 6≥6x - 15 + 9x$，
移项合并：$4x + 4≥15x - 15$，
$-11x≥ - 19$，
解得$x≤\frac{19}{11}$。
当$-3≤x≤\frac{19}{11}$时，$|2 - x|-|x + 3|=2 - x-(x + 3)=-1 - 2x$，
$x=\frac{19}{11}$时，最小值为$-1 - 2×\frac{19}{11}=-\frac{49}{11}$；
$x = - 3$时，最大值为$-1 - 2×(-3)=5$。
当$x＜ - 3$时，$|2 - x|-|x + 3|=2 - x + (x + 3)=5$。
综上，最大值为5，最小值为$-\frac{49}{11}$，差为$5 - (-\frac{49}{11})=\frac{104}{11}$。
$\frac{104}{11}$
3. (2024·宿豫期末)若一个四位数 $M$ 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 $M$ 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数 $M$ 为“勾股和数”. 例如，$M = 2543$，因为 $3^{2}+4^{2}=25$，所以 2543 是“勾股和数”；又如，$M = 4325$，因为 $5^{2}+2^{2}=29,29≠43$，所以 4325 不是“勾股和数”.
(1) 判断 2024，5055 是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2) 请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”；
(3) 一个“勾股和数”$M$ 的千位数字为 $a$，百位数字为 $b$，十位数字为 $c$，个位数字为 $d$，记 $G(M)=\frac{c + d}{9},P(M)=\frac{10a - 2cd + b}{3}$. 当 $G(M)$ 是整数，且 $P(M)=3$ 时，求出所有满足条件的 $M$.
(1) 判断 2024，5055 是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2) 请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”；
(3) 一个“勾股和数”$M$ 的千位数字为 $a$，百位数字为 $b$，十位数字为 $c$，个位数字为 $d$，记 $G(M)=\frac{c + d}{9},P(M)=\frac{10a - 2cd + b}{3}$. 当 $G(M)$ 是整数，且 $P(M)=3$ 时，求出所有满足条件的 $M$.
答案：3. 解: (1)2024，5055 都是“勾股和数”，理由如下:
因为 $ 2^{2}+4^{2}=20 $， $ 5^{2}+5^{2}=50 $，
所以 2024，5055 都是“勾股和数”。
(2)1323. (答案不唯一)
(3) 因为 $ M $ 为“勾股和数”，所以 $ 10a + b = c^{2}+d^{2} $。
所以 $ 0＜ c^{2}+d^{2}＜100 $。
因为 $ G(M)=\frac{c + d}{9} $ 为整数，所以 $ c + d = 9 $。
因为 $ P(M)=\frac{10a-2cd + b}{3}=3 $，
所以 $ 10a-2cd + b = 9 $，即 $ 10a + b = 2cd + 9 $。
所以 $ c^{2}+d^{2}=2cd + 9 $，所以 $ (c - d)^{2}=9 $，
所以 $ c - d=\pm3 $。
由 $ \begin{cases}c + d = 9\\c - d = 3\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}c = 6\\d = 3\end{cases} $，此时 $ M = 4563 $。
由 $ \begin{cases}c + d = 9\\c - d = - 3\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}c = 3\\d = 6\end{cases} $，此时 $ M = 4536 $。
综上， $ M $ 的值为 4536 或 4563。
因为 $ 2^{2}+4^{2}=20 $， $ 5^{2}+5^{2}=50 $，
所以 2024，5055 都是“勾股和数”。
(2)1323. (答案不唯一)
(3) 因为 $ M $ 为“勾股和数”，所以 $ 10a + b = c^{2}+d^{2} $。
所以 $ 0＜ c^{2}+d^{2}＜100 $。
因为 $ G(M)=\frac{c + d}{9} $ 为整数，所以 $ c + d = 9 $。
因为 $ P(M)=\frac{10a-2cd + b}{3}=3 $，
所以 $ 10a-2cd + b = 9 $，即 $ 10a + b = 2cd + 9 $。
所以 $ c^{2}+d^{2}=2cd + 9 $，所以 $ (c - d)^{2}=9 $，
所以 $ c - d=\pm3 $。
由 $ \begin{cases}c + d = 9\\c - d = 3\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}c = 6\\d = 3\end{cases} $，此时 $ M = 4563 $。
由 $ \begin{cases}c + d = 9\\c - d = - 3\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}c = 3\\d = 6\end{cases} $，此时 $ M = 4536 $。
综上， $ M $ 的值为 4536 或 4563。