1. 我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫作这个二元一次方程的一个解. 同样地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫作这个二元一次不等式的一个解. 对于二元一次不等式 $ 2x + 3y ≤ 10 $，它的正整数解有(
A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.无数个
B
)A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.无数个
答案：1. B 点拨:因为$2x + 3y ≤ 10$，所以$x ≤ \frac{10 - 3y}{2} = 5 - \frac{3}{2}y$。因为$x$，$y$都是正整数，所以$5 - \frac{3}{2}y ＞ 0$，所以$0 ＜ y ＜ \frac{10}{3}$，所以$y$的值能取1，2，3。当$y = 1$时，$0 ＜ x ≤ \frac{7}{2}$，此时有$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}\begin{cases}x = 3,\\y = 1.\end{cases}$当$y = 2$时，$0 ＜ x ≤ 2$，此时有$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}\begin{cases}x = 2,\\y = 2.\end{cases}$当$y = 3$时，$0 ＜ x ≤ \frac{1}{2}$，无正整数解，故正整数解有5个。
2. 若 $ x + y + z = 30 $，$ 3x + y - z = 50 $，$ x $，$ y $，$ z $ 都为非负数，则 $ M = 5x + 4y + 2z $ 的取值范围是
$120 ≤ M ≤ 130$
.答案：2. $120 ≤ M ≤ 130$ 点拨:由题意，得$\begin{cases}x + y + z = 30,\\3x + y - z = 50,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 10 + z,\\y = 20 - 2z.\end{cases}$因为$x$，$y$，$z$都为非负数，所以$0 ≤ z ≤ 10$，所以$M = 5x + 4y + 2z = 5(10 + z) + 4(20 - 2z) + 2z = 130 - z$。因为$0 ≤ z ≤ 10$，所以$-10 ≤ - z ≤ 0$，所以$130 - 10 ≤ 130 - z ≤ 0 + 130$，即$120 ≤ M ≤ 130$。
解析：
由题意，得$\begin{cases}x + y + z = 30,\\3x + y - z = 50,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 10 + z,\\y = 20 - 2z.\end{cases}$
因为$x$，$y$，$z$都为非负数，所以$\begin{cases}10 + z≥0,\\20 - 2z≥0,\\z≥0,\end{cases}$
解得$0≤ z≤10$。
$M = 5x + 4y + 2z = 5(10 + z) + 4(20 - 2z) + 2z = 50 + 5z + 80 - 8z + 2z = 130 - z$。
因为$0≤ z≤10$，所以$-10≤ -z≤0$，
所以$130 - 10≤130 - z≤130 + 0$，即$120≤ M≤130$。
解得$\begin{cases}x = 10 + z,\\y = 20 - 2z.\end{cases}$
因为$x$，$y$，$z$都为非负数，所以$\begin{cases}10 + z≥0,\\20 - 2z≥0,\\z≥0,\end{cases}$
解得$0≤ z≤10$。
$M = 5x + 4y + 2z = 5(10 + z) + 4(20 - 2z) + 2z = 50 + 5z + 80 - 8z + 2z = 130 - z$。
因为$0≤ z≤10$，所以$-10≤ -z≤0$，
所以$130 - 10≤130 - z≤130 + 0$，即$120≤ M≤130$。
3. 对于不等式 $ a^x ＞ a^y $（$ a ＞ 0 $ 且 $ a ≠ 1 $），当 $ a ＞ 1 $ 时，$ x ＞ y $；当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，$ x ＜ y $. 请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 解关于 $ x $ 的不等式：$ 2^{5x - 1} ＞ 2^{3x + 1} $；
(2) 已知关于 $ x $ 的不等式 $ ( \dfrac{1}{2} )^{kx - 1} ＜ ( \dfrac{1}{2} )^{5x - 2} $，其解集中无正整数解，求 $ k $ 的取值范围.
(1) 解关于 $ x $ 的不等式：$ 2^{5x - 1} ＞ 2^{3x + 1} $；
(2) 已知关于 $ x $ 的不等式 $ ( \dfrac{1}{2} )^{kx - 1} ＜ ( \dfrac{1}{2} )^{5x - 2} $，其解集中无正整数解，求 $ k $ 的取值范围.
答案：3. 解:(1)因为$2^{5x - 1} ＞ 2^{3x + 1}$，$2 ＞ 1$，所以$5x - 1 ＞ 3x + 1$，解得$x ＞ 1$。
(2)因为$(\frac{1}{2})^{kx - 1} ＜ (\frac{1}{2})^{5x - 2}$，$0 ＜ \frac{1}{2} ＜ 1$，所以$kx - 1 ＞ 5x - 2$，整理，得$(k - 5)x ＞ - 1$。当$k - 5 ＞ 0$，即$k ＞ 5$时，解得$x ＞ - \frac{1}{k - 5}$（可以取遍所有正整数，不合题意）。当$k - 5 = 0$，即$k = 5$时，解得$0 ＞ - 1$（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）。当$k - 5 ＜ 0$，即$k ＜ 5$时，解得$x ＜ - \frac{1}{k - 5}$，由解集中无正整数解，得$- \frac{1}{k - 5} ≤ 1$，去分母，得$-1 ≥ k - 5$，解得$k ≤ 4$。综上，$k$的取值范围为$k ≤ 4$。
(2)因为$(\frac{1}{2})^{kx - 1} ＜ (\frac{1}{2})^{5x - 2}$，$0 ＜ \frac{1}{2} ＜ 1$，所以$kx - 1 ＞ 5x - 2$，整理，得$(k - 5)x ＞ - 1$。当$k - 5 ＞ 0$，即$k ＞ 5$时，解得$x ＞ - \frac{1}{k - 5}$（可以取遍所有正整数，不合题意）。当$k - 5 = 0$，即$k = 5$时，解得$0 ＞ - 1$（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）。当$k - 5 ＜ 0$，即$k ＜ 5$时，解得$x ＜ - \frac{1}{k - 5}$，由解集中无正整数解，得$- \frac{1}{k - 5} ≤ 1$，去分母，得$-1 ≥ k - 5$，解得$k ≤ 4$。综上，$k$的取值范围为$k ≤ 4$。