1. 非负数 $x$，$y$ 满足 $\frac{x - 1}{2} = \frac{2 - y}{3}$，记 $W = 3x + 4y$，$W$ 的最大值为 $m$，最小值为 $n$，则 $m + n =$(
A.6
B.7
C.14
D.21
D
)A.6
B.7
C.14
D.21
答案：1. D 点拨：设$\frac{x - 1}{2} = \frac{2 - y}{3} = t$，则$x = 2t + 1$，$y = 2 - 3t$，所以$W = 3x + 4y = 3(2t + 1) + 4(2 - 3t) = 11 - 6t$。因为$x$，$y$均为非负数，所以$\begin{cases}2t + 1 ≥ 0 \\ 2 - 3t ≥ 0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2} ≤ t ≤ \frac{2}{3}$，所以$-4 ≤ -6t ≤ 3$，所以$7 ≤ 11 - 6t ≤ 14$，即$7 ≤ W ≤ 14$，所以$W$的最大值$m = 14$，最小值$n = 7$，所以$m + n = 14 + 7 = 21$。
2. 若不等式组 $\begin{cases}x≥ - 3,\\x ＜ a\end{cases}$ 的解集中的整数的和为 $-5$，则整数 $a$ 的值为 ______ .
答案：2. $-1$或$2$ 点拨：因为$\begin{cases}x ≥ -3 \\ x ＜ a\end{cases}$，所以$-3 ≤ x ＜ a$。因为不等式组$\begin{cases}x ≥ -3 \\ x ＜ a\end{cases}$的解集中的整数的和为$-5$，所以整数解为$-3$，$-2$或$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，所以$-2 ＜ a ≤ -1$或$1 ＜ a ≤ 2$，所以整数$a$的值为$-1$或$2$。
解析：
因为不等式组$\begin{cases}x ≥ -3 \\ x ＜ a\end{cases}$，所以解集为$-3 ≤ x ＜ a$。
情况一：整数解为$-3$，$-2$。
此时$-2 ＜ a ≤ -1$，整数$a$的值为$-1$。
情况二：整数解为$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$。
此时$1 ＜ a ≤ 2$，整数$a$的值为$2$。
综上，整数$a$的值为$-1$或$2$。
情况一：整数解为$-3$，$-2$。
此时$-2 ＜ a ≤ -1$，整数$a$的值为$-1$。
情况二：整数解为$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$。
此时$1 ＜ a ≤ 2$，整数$a$的值为$2$。
综上，整数$a$的值为$-1$或$2$。
3. 【阅读理解】定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”.例如，已知方程 $2x - 1 = 1$ 与不等式 $x + 1 ＞ 0$，当 $x = 1$ 时，$2x - 1 = 2×1 - 1 = 1$，$1 + 1 = 2 ＞ 0$ 同时成立，则称“$x = 1$”是方程 $2x - 1 = 1$ 与不等式 $x + 1 ＞ 0$ 的“理想解”.
【问题解决】
(1)请判断方程 $4x - 3 = 1$ 的解是此方程与以下哪些不等式(组)的“理想解”：
① $x - 3 ＞ 3x - 1$；② $4(x - 1)≤ 2$；③ $\begin{cases}x + 2 ＞ 0,\\3x - 3≤ 1.\end{cases}$
(2)若 $\begin{cases}x = m,\\y = n\end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases}x + 2y = 6,\\2x + y = 3q\end{cases}$ 与不等式 $x + y ＞ 1$ 的“理想解”，求 $q$ 的取值范围.
(3)当 $k ＜ 3$ 时，方程 $3(x - 1) = k$ 的解都是此方程与不等式 $4x + n ＜ x + 2m$ 的“理想解”.若 $m + n≥ 0$ 且满足条件的整数 $n$ 有且只有一个，求 $m$ 的取值范围.
【问题解决】
(1)请判断方程 $4x - 3 = 1$ 的解是此方程与以下哪些不等式(组)的“理想解”：
②③
.(填序号)① $x - 3 ＞ 3x - 1$；② $4(x - 1)≤ 2$；③ $\begin{cases}x + 2 ＞ 0,\\3x - 3≤ 1.\end{cases}$
(2)若 $\begin{cases}x = m,\\y = n\end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases}x + 2y = 6,\\2x + y = 3q\end{cases}$ 与不等式 $x + y ＞ 1$ 的“理想解”，求 $q$ 的取值范围.
(3)当 $k ＜ 3$ 时，方程 $3(x - 1) = k$ 的解都是此方程与不等式 $4x + n ＜ x + 2m$ 的“理想解”.若 $m + n≥ 0$ 且满足条件的整数 $n$ 有且只有一个，求 $m$ 的取值范围.
答案：3. (1)②③
(2)解：因为$\begin{cases}x = m \\ y = n\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x + 2y = 6 \\ 2x + y = 3q\end{cases}$的“理想解”，所以$\begin{cases}m + 2n = 6 \\ 2m + n = 3q\end{cases}$，两式相加，得$3m + 3n = 3q + 6$，所以$m + n = q + 2$。因为$\begin{cases}x = m \\ y = n\end{cases}$是不等式$x + y ＞ 1$的“理想解”，所以$m + n ＞ 1$，即$q + 2 ＞ 1$，所以$q ＞ -1$。
(3)解：因为当$k ＜ 3$时，方程$3(x - 1) = k$的解都是此方程与不等式$4x + n ＜ x + 2m$的“理想解”，解方程$3(x - 1) = k$，得$x = \frac{k}{3} + 1$。解不等式$4x + n ＜ x + 2m$，得$x ＜ \frac{2m - n}{3}$，所以当$k ＜ 3$时，$\frac{k}{3} + 1 ＜ 2$，即$x ＜ 2$，所以$\frac{2m - n}{3} ≥ 2$，所以$n ≤ 2m - 6$。因为$m + n ≥ 0$且满足条件的整数$n$有且只有一个，所以$n ≥ -m$，所以$2m - 6 ≥ -m$，解得$m ≥ 2$，所以$-m ≤ -2$，$2m - 6 ≥ -2$，所以此时$n$恰好有一个整数解$-2$，所以$\begin{cases}-3 ＜ -m ≤ -2 \\ -2 ≤ 2m - 6 ＜ -1\end{cases}$，解得$2 ≤ m ＜ \frac{5}{2}$。
(2)解：因为$\begin{cases}x = m \\ y = n\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x + 2y = 6 \\ 2x + y = 3q\end{cases}$的“理想解”，所以$\begin{cases}m + 2n = 6 \\ 2m + n = 3q\end{cases}$，两式相加，得$3m + 3n = 3q + 6$，所以$m + n = q + 2$。因为$\begin{cases}x = m \\ y = n\end{cases}$是不等式$x + y ＞ 1$的“理想解”，所以$m + n ＞ 1$，即$q + 2 ＞ 1$，所以$q ＞ -1$。
(3)解：因为当$k ＜ 3$时，方程$3(x - 1) = k$的解都是此方程与不等式$4x + n ＜ x + 2m$的“理想解”，解方程$3(x - 1) = k$，得$x = \frac{k}{3} + 1$。解不等式$4x + n ＜ x + 2m$，得$x ＜ \frac{2m - n}{3}$，所以当$k ＜ 3$时，$\frac{k}{3} + 1 ＜ 2$，即$x ＜ 2$，所以$\frac{2m - n}{3} ≥ 2$，所以$n ≤ 2m - 6$。因为$m + n ≥ 0$且满足条件的整数$n$有且只有一个，所以$n ≥ -m$，所以$2m - 6 ≥ -m$，解得$m ≥ 2$，所以$-m ≤ -2$，$2m - 6 ≥ -2$，所以此时$n$恰好有一个整数解$-2$，所以$\begin{cases}-3 ＜ -m ≤ -2 \\ -2 ≤ 2m - 6 ＜ -1\end{cases}$，解得$2 ≤ m ＜ \frac{5}{2}$。