1. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{ax - 3}{2} = \frac{2x}{3} + 1$ 的解是非负数，且关于 $ y $ 的不等式组 $\begin{cases}\frac{y - 1}{2} - 2 ＞ \frac{2 - 3y}{4},\\4 - y ≤ 2a - 3y\end{cases}$ 最多有 3 个整数解，则符合条件的所有整数 $ a $ 的和为( )
A.27
B.28
C.35
D.36
A.27
B.28
C.35
D.36
答案：1. A 点拨: 解方程 $\frac{ax - 3}{2} = \frac{2x}{3} + 1$，得 $(3a - 4)x = 15$，当 $3a - 4 = 0$ 时，无解，所以 $3a - 4 ≠ 0$，$x = \frac{15}{3a - 4} ≥ 0$，所以 $3a - 4 ＞ 0$，解得 $a ＞ \frac{4}{3}$。解关于 $y$ 的不等式组 $\begin{cases} \frac{y - 1}{2} - 2 ＞ \frac{2 - 3y}{4} \\ 4 - y ≤ 2a - 3y \end{cases}$，得 $\frac{12}{5} ＜ y ≤ a - 2$，由该不等式组最多有 3 个整数解，得 $a - 2 ＜ 6$，解得 $a ＜ 8$，从而 $a$ 的取值范围是 $\frac{4}{3} ＜ a ＜ 8$。因为 $a$ 是整数，所以 $a$ 的值为 2，3，4，5，6，7，所以符合条件的所有整数 $a$ 的和为 $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27$。
2. 关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}2a - x ＞ 3,\\2x + 8 ＞ 4a\end{cases}$ 的解集中每一个值均不在 $ 1 ≤ x ≤ 8 $ 的范围内，则 $ a $ 的取值范围是 ______ .
答案：2. $a ≥ 6$ 或 $a ≤ 2$ 点拨: 解不等式组 $\begin{cases} 2a - x ＞ 3 \\ 2x + 8 ＞ 4a \end{cases}$ 得 $2a - 4 ＜ x ＜ 2a - 3$。因为不等式组 $\begin{cases} 2a - x ＞ 3 \\ 2x + 8 ＞ 4a \end{cases}$ 的解集中每一个值均不在 $1 ≤ x ≤ 8$ 的范围内，所以 $2a - 4 ≥ 8$ 或 $2a - 3 ≤ 1$，解得 $a ≥ 6$ 或 $a ≤ 2$。
解析：
解不等式组 $\begin{cases}2a - x ＞ 3 \\ 2x + 8 ＞ 4a\end{cases}$，
解第一个不等式：$2a - x ＞ 3$，得 $x ＜ 2a - 3$；
解第二个不等式：$2x + 8 ＞ 4a$，得 $2x ＞ 4a - 8$，即 $x ＞ 2a - 4$；
所以不等式组的解集为 $2a - 4 ＜ x ＜ 2a - 3$。
因为解集中每一个值均不在 $1 ≤ x ≤ 8$ 的范围内，所以有两种情况：
情况一：$2a - 3 ≤ 1$，解得 $2a ≤ 4$，即 $a ≤ 2$；
情况二：$2a - 4 ≥ 8$，解得 $2a ≥ 12$，即 $a ≥ 6$。
综上，$a$ 的取值范围是 $a ≤ 2$ 或 $a ≥ 6$。
$a ≤ 2$ 或 $a ≥ 6$
解第一个不等式：$2a - x ＞ 3$，得 $x ＜ 2a - 3$；
解第二个不等式：$2x + 8 ＞ 4a$，得 $2x ＞ 4a - 8$，即 $x ＞ 2a - 4$；
所以不等式组的解集为 $2a - 4 ＜ x ＜ 2a - 3$。
因为解集中每一个值均不在 $1 ≤ x ≤ 8$ 的范围内，所以有两种情况：
情况一：$2a - 3 ≤ 1$，解得 $2a ≤ 4$，即 $a ≤ 2$；
情况二：$2a - 4 ≥ 8$，解得 $2a ≥ 12$，即 $a ≥ 6$。
综上，$a$ 的取值范围是 $a ≤ 2$ 或 $a ≥ 6$。
$a ≤ 2$ 或 $a ≥ 6$
3. 定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数 $ M = \overline{abc} $，它的百位数字为 $ a $，十位数字为 $ b $，个位数字为 $ c $，将它的百位数字 $ a $ 与个位数字 $ c $ 组成一个新的两位数 $ N = \overline{ac} $，如果这个新两位数 $ N $ 能被十位数字 $ b $ 整除，则把 $ N $ 与 $ b $ 的商记为 $ f(M) $，若 $ f(M) $ 为不超过 15 的整数，则称这个数 $ M $ 为“映文数”. 例如，$ M = 123 $，因为 $ a = 1 $，$ b = 2 $，$ c = 3 $，所以 $ f(123) = \frac{13}{2} $，所以 123 不是“映文数”. 又如 $ M = 132 $，因为 $ a = 1 $，$ b = 3 $，$ c = 2 $，所以 $ f(132) = \frac{12}{3} = 4 ＜ 15 $，所以 132 是“映文数”.
(1)①计算：$ f(324) = $
②192，214，435 中，“映文数”是
(2)如果一个“映文数”$ M $ 的十位数字是 6，个位数字比百位数字大 2，且 $ 1 ＜ f(M) ＜ 5 $，请求出符合题意的“映文数”$ M $.
(3)若将一个“映文数”$ M $ 的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数 $ M * = \overline{cba} $，且 $ f(M *) $ 仍为不超过 15 的整数，则称这个数 $ M $ 为“重映文数”. 如果一个“映文数”$ M $ 的百位数字与个位数字之和为 12，记 $ g(M) = N - b $，若 $ g(M) $ 为 7 的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”$ M $.
(1)①计算：$ f(324) = $
17
；②192，214，435 中，“映文数”是
435
.(2)如果一个“映文数”$ M $ 的十位数字是 6，个位数字比百位数字大 2，且 $ 1 ＜ f(M) ＜ 5 $，请求出符合题意的“映文数”$ M $.
(3)若将一个“映文数”$ M $ 的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数 $ M * = \overline{cba} $，且 $ f(M *) $ 仍为不超过 15 的整数，则称这个数 $ M $ 为“重映文数”. 如果一个“映文数”$ M $ 的百位数字与个位数字之和为 12，记 $ g(M) = N - b $，若 $ g(M) $ 为 7 的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”$ M $.
答案：3. (1) ① 17 ② 435
(2) 解: 设百位数字为 $m$，则个位数字为 $m + 2$，则 $M = 100m + 60 + m + 2 = 101m + 62$，所以 $f(M) = \frac{10m + m + 2}{6} = \frac{11m + 2}{6}$。因为 $1 ＜ f(M) ＜ 5$，所以 $1 ＜ \frac{11m + 2}{6} ＜ 5$，解得 $\frac{4}{11} ＜ m ＜ \frac{28}{11}$，所以 $m = 1$ 或 $m = 2$。当 $m = 1$ 时，$M = 163$，$f(M) = \frac{13}{6}$，不符合题意。当 $m = 2$ 时，$M = 264$，$f(M) = \frac{24}{6} = 4 ＜ 15$，符合题意。所以 $M = 264$。
(3) 解: 设 $M$ 的百位数字为 $n$，则个位数字为 $12 - n$，十位数字为 $b$，因为 $M$ 是“映文数”，所以 $f(M) = \frac{10n + 12 - n}{b} = \frac{9n + 12}{b} ≤ 15$。所以 $n ≤ \frac{5b - 4}{3}$。因为 $M$ 的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数 $M* = \overline{cba}$，且 $f(M*)$ 仍为不超过 15 的整数，所以 $f(M*) = \frac{10(12 - n) + n}{b} = \frac{120 - 9n}{b} ≤ 15$，所以 $n ≥ \frac{40 - 5b}{3}$，所以 $\frac{40 - 5b}{3} ≤ n ≤ \frac{5b - 4}{3}$，所以 $\frac{40 - 5b}{3} ≤ \frac{5b - 4}{3}$，解得 $b ≥ \frac{22}{5}$，所以 $\frac{22}{5} ≤ b ≤ 9$。因为 $\begin{cases} 0 ＜ n ≤ 9 \\ 0 ＜ 12 - n ≤ 9 \end{cases}$，所以 $3 ≤ n ≤ 9$。因为 $g(M) = N - b = 10n + 12 - n - b = 9n + 12 - b$ 为 7 的整数倍，所以当 $b = 5$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。当 $b = 6$ 时，$n$ 取 4，$12 - n = 8$，此时 $M = 468$。当 $b = 7$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。当 $b = 8$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。当 $b = 9$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。所以 $M = 468$。
(2) 解: 设百位数字为 $m$，则个位数字为 $m + 2$，则 $M = 100m + 60 + m + 2 = 101m + 62$，所以 $f(M) = \frac{10m + m + 2}{6} = \frac{11m + 2}{6}$。因为 $1 ＜ f(M) ＜ 5$，所以 $1 ＜ \frac{11m + 2}{6} ＜ 5$，解得 $\frac{4}{11} ＜ m ＜ \frac{28}{11}$，所以 $m = 1$ 或 $m = 2$。当 $m = 1$ 时，$M = 163$，$f(M) = \frac{13}{6}$，不符合题意。当 $m = 2$ 时，$M = 264$，$f(M) = \frac{24}{6} = 4 ＜ 15$，符合题意。所以 $M = 264$。
(3) 解: 设 $M$ 的百位数字为 $n$，则个位数字为 $12 - n$，十位数字为 $b$，因为 $M$ 是“映文数”，所以 $f(M) = \frac{10n + 12 - n}{b} = \frac{9n + 12}{b} ≤ 15$。所以 $n ≤ \frac{5b - 4}{3}$。因为 $M$ 的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数 $M* = \overline{cba}$，且 $f(M*)$ 仍为不超过 15 的整数，所以 $f(M*) = \frac{10(12 - n) + n}{b} = \frac{120 - 9n}{b} ≤ 15$，所以 $n ≥ \frac{40 - 5b}{3}$，所以 $\frac{40 - 5b}{3} ≤ n ≤ \frac{5b - 4}{3}$，所以 $\frac{40 - 5b}{3} ≤ \frac{5b - 4}{3}$，解得 $b ≥ \frac{22}{5}$，所以 $\frac{22}{5} ≤ b ≤ 9$。因为 $\begin{cases} 0 ＜ n ≤ 9 \\ 0 ＜ 12 - n ≤ 9 \end{cases}$，所以 $3 ≤ n ≤ 9$。因为 $g(M) = N - b = 10n + 12 - n - b = 9n + 12 - b$ 为 7 的整数倍，所以当 $b = 5$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。当 $b = 6$ 时，$n$ 取 4，$12 - n = 8$，此时 $M = 468$。当 $b = 7$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。当 $b = 8$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。当 $b = 9$ 时，无满足题意的 $n$ 的值。所以 $M = 468$。