1. 某校组织 10 名教师和 38 名学生去某地参观学习. 学校准备租用汽车,学校可选择的车辆(除司机外)分别可以乘坐 4 人或 6 人,为了安全,每辆车上至少有 1 名教师,且没有空座,那么可以选择的方案有(
A.2 种
B.3 种
C.4 种
D.5 种
B
)A.2 种
B.3 种
C.4 种
D.5 种
答案：1. B 点拨:设 4 人车租 x 辆,6 人车租 y 辆,因为没有空座,所以 $ 4x + 6y = 10 + 38 $,从而 $ y = 8 - \frac{2}{3}x $.因为每辆车上至少有 1 名教师,所以 $ x + y ≤ 10 $.把 $ y = 8 - \frac{2}{3}x $代入该不等式,得 $ x + 8 - \frac{2}{3}x ≤ 10 $,所以 $ x ≤ 6 $.因为 x,y 都是整数且由 $ y = 8 - \frac{2}{3}x $知 x 是 3 的倍数,所以,当 $ x = 0 $时,$ y = 8 $;当 $ x = 3 $时,$ y = 6 $;当 $ x = 6 $时,$ y = 4 $.故有 3 种方案.
2. 某校棋艺社开展围棋比赛,共 m 位学生参赛. 比赛为单循环制,所有参赛学生彼此恰好比赛一场. 记分规则为:每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,平局各得 1 分. 比赛结束后,若所有参赛者的得分总和为 76 分,且平局的场数不超过比赛场数的 $\frac{1}{3}$,则 $m =$
8
.答案：2. 8 点拨:设分出胜负的有 x 场,平局 y 场,根据题意,得 $ \begin{cases} 3x + 2y = 76, \\ y ≤ \frac{1}{3}(x + y), \end{cases} $解得 $ x ≥ 19 $.因为 x,y 都是非负整数,所以满足条件的解为 $ \begin{cases} x = 20, \\ y = 8, \end{cases} \begin{cases} x = 22, \\ y = 5, \end{cases} \begin{cases} x = 24, \\ y = 2. \end{cases} $因为 $ \frac{m(m - 1)}{2} = x + y $,所以使 m 为正整数的解只有 $ \begin{cases} x = 20, \\ y = 8, \end{cases} $此时 $ m = 8 $.
解析：
设分出胜负的有$x$场，平局$y$场。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 76 \\ y ≤ \frac{1}{3}(x + y)\end{cases}$
由$y ≤ \frac{1}{3}(x + y)$，得$3y ≤ x + y$，即$x ≥ 2y$。
由$3x + 2y = 76$，得$x = \frac{76 - 2y}{3}$，代入$x ≥ 2y$，得$\frac{76 - 2y}{3} ≥ 2y$，解得$y ≤ 9.5$，因为$y$为非负整数，所以$y ≤ 9$。
又因为$3x = 76 - 2y$，所以$76 - 2y$必须是$3$的倍数，$y$可取$2,5,8$。
当$y = 2$时，$x = \frac{76 - 4}{3} = 24$，$x + y = 26$；
当$y = 5$时，$x = \frac{76 - 10}{3} = 22$，$x + y = 27$；
当$y = 8$时，$x = \frac{76 - 16}{3} = 20$，$x + y = 28$。
因为比赛总场数为$\frac{m(m - 1)}{2}$，所以$\frac{m(m - 1)}{2} = x + y$。
当$x + y = 28$时，$\frac{m(m - 1)}{2} = 28$，解得$m = 8$（$m = -7$舍去）。
$m = 8$
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 76 \\ y ≤ \frac{1}{3}(x + y)\end{cases}$
由$y ≤ \frac{1}{3}(x + y)$，得$3y ≤ x + y$，即$x ≥ 2y$。
由$3x + 2y = 76$，得$x = \frac{76 - 2y}{3}$，代入$x ≥ 2y$，得$\frac{76 - 2y}{3} ≥ 2y$，解得$y ≤ 9.5$，因为$y$为非负整数，所以$y ≤ 9$。
又因为$3x = 76 - 2y$，所以$76 - 2y$必须是$3$的倍数，$y$可取$2,5,8$。
当$y = 2$时，$x = \frac{76 - 4}{3} = 24$，$x + y = 26$；
当$y = 5$时，$x = \frac{76 - 10}{3} = 22$，$x + y = 27$；
当$y = 8$时，$x = \frac{76 - 16}{3} = 20$，$x + y = 28$。
因为比赛总场数为$\frac{m(m - 1)}{2}$，所以$\frac{m(m - 1)}{2} = x + y$。
当$x + y = 28$时，$\frac{m(m - 1)}{2} = 28$，解得$m = 8$（$m = -7$舍去）。
$m = 8$
3. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.
活动一:所购商品按原价打八折;
活动二:所购商品按原价每满 300 元减 80 元. (如:所购商品原价为 300 元,可减 80 元,需付款 220 元;所购商品原价为 770 元,可减 160 元,需付款 610 元)
(1) 购买一件原价为 450 元的健身器材时,选择哪种活动更合算? 请说明理由;
(2) 购买一件原价在 500 元以下的健身器材时,若选择活动一和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价;
(3) 购买一件原价在 900 元以下的健身器材时,原价在什么范围内,选择活动二比选择活动一更合算? 设一件这种健身器材的原价为 a 元,请直接写出 a 的取值范围.
活动一:所购商品按原价打八折;
活动二:所购商品按原价每满 300 元减 80 元. (如:所购商品原价为 300 元,可减 80 元,需付款 220 元;所购商品原价为 770 元,可减 160 元,需付款 610 元)
(1) 购买一件原价为 450 元的健身器材时,选择哪种活动更合算? 请说明理由;
(2) 购买一件原价在 500 元以下的健身器材时,若选择活动一和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价;
(3) 购买一件原价在 900 元以下的健身器材时,原价在什么范围内,选择活动二比选择活动一更合算? 设一件这种健身器材的原价为 a 元,请直接写出 a 的取值范围.
答案：3. 解:(1)选择活动一更合算.理由:购买一件原价为 450 元的健身器材时,选择活动一需付款 $ 450 × 0.8 = 360 $(元),选择活动二需付款 $ 450 - 80 = 370 $(元),$ 360 ＜ 370 $,所以选择活动一更合算.
(2)设一件这种健身器材的原价是 x 元,根据题意,得 $ 0.8x = x - 80 $,解得 $ x = 400 $.答:一件这种健身器材的原价是 400 元.
(3)设一件这种健身器材的原价为 a 元,则选择活动一需付款 0.8a 元,选择活动二,当 $ 0 ＜ a ＜ 300 $时,需付款 a 元;当 $ 300 ≤ a ＜ 600 $时,需付款$ (a - 80) $元;当 $ 600 ≤ a ＜ 900 $时,需付款$ (a - 160) $元.
①当 $ 0 ＜ a ＜ 300 $时,$ a ＞ 0.8a $,此时无论 a 为何值,都是活动一更合算,不符合题意;
②当 $ 300 ≤ a ＜ 600 $时,令 $ a - 80 ＜ 0.8a $,解得 $ 300 ≤ a ＜ 400 $,即当 $ 300 ≤ a ＜ 400 $时,活动二更合算;
③当 $ 600 ≤ a ＜ 900 $时,令 $ a - 160 ＜ 0.8a $,解得 $ 600 ≤ a ＜ 800 $,即当 $ 600 ≤ a ＜ 800 $时,活动二更合算.综上,当 $ 300 ≤ a ＜ 400 $或 $ 600 ≤ a ＜ 800 $时,活动二更合算.
(2)设一件这种健身器材的原价是 x 元,根据题意,得 $ 0.8x = x - 80 $,解得 $ x = 400 $.答:一件这种健身器材的原价是 400 元.
(3)设一件这种健身器材的原价为 a 元,则选择活动一需付款 0.8a 元,选择活动二,当 $ 0 ＜ a ＜ 300 $时,需付款 a 元;当 $ 300 ≤ a ＜ 600 $时,需付款$ (a - 80) $元;当 $ 600 ≤ a ＜ 900 $时,需付款$ (a - 160) $元.
①当 $ 0 ＜ a ＜ 300 $时,$ a ＞ 0.8a $,此时无论 a 为何值,都是活动一更合算,不符合题意;
②当 $ 300 ≤ a ＜ 600 $时,令 $ a - 80 ＜ 0.8a $,解得 $ 300 ≤ a ＜ 400 $,即当 $ 300 ≤ a ＜ 400 $时,活动二更合算;
③当 $ 600 ≤ a ＜ 900 $时,令 $ a - 160 ＜ 0.8a $,解得 $ 600 ≤ a ＜ 800 $,即当 $ 600 ≤ a ＜ 800 $时,活动二更合算.综上,当 $ 300 ≤ a ＜ 400 $或 $ 600 ≤ a ＜ 800 $时,活动二更合算.