1. 某工厂为了在规定期限内完成 2160 个零件的加工任务，安排 15 名工人每人每天加工 a 个零件(a 为整数)，开工若干天后，其中 3 人外出培训. 若剩下的工人每人每天多加工 2 个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知 a 的值至少为(
A.10
B.9
C.8
D.7
B
)A.10
B.9
C.8
D.7
答案：1. B 点拨:设原计划n天完成,开工x天3人外出培训,则$15an=2160$,得到$an=144$,所以$15ax+12(a+2)(n-x)＜2160$,整理,得$ax+4an+8n-8x＜720$.因为$an=144$,将其代入化简,得$ax+8n-8x＜144$,即$ax+8n-8x＜an$,整理,得$8(n-x)＜a(n-x)$.因为$n＞x$,所以$n-x＞0$,所以$a＞8$,所以a的值至少为9.
2. 已知一个两位数，将其个位上的数和十位上的数对调后组成一个新的两位数. 若原两位数与 8 的和不大于新两位数的一半，则满足条件的两位数有
8
个.答案：2. 8 点拨:设原两位数的十位数字为x,个位数字为y($0＜x＜10$且为整数,$0＜y＜10$且为整数),根据题意,得$10x+y+8≤\frac {10y+x}{2}$,解得$y≥\frac {19x+16}{8}$,所以当$x=1$时,$y≥\frac {35}{8}$,y的值可取5,6,7,8,9.当$x=2$时,$y≥\frac {27}{4}$,y的值可取7,8,9.当$x=3$时,$y≥\frac {73}{8}$,y无符合题意的整数解.所以满足条件的两位数有8个.
解析：
设原两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$（$0 ＜ x ＜ 10$且为整数，$0 ＜ y ＜ 10$且为整数）。
根据题意，得$10x + y + 8 ≤ \frac{10y + x}{2}$，
两边同乘$2$：$20x + 2y + 16 ≤ 10y + x$，
移项化简：$19x + 16 ≤ 8y$，即$y ≥ \frac{19x + 16}{8}$。
当$x = 1$时，$y ≥ \frac{19×1 + 16}{8} = \frac{35}{8} = 4.375$，$y$可取$5,6,7,8,9$，共$5$个；
当$x = 2$时，$y ≥ \frac{19×2 + 16}{8} = \frac{54}{8} = 6.75$，$y$可取$7,8,9$，共$3$个；
当$x ≥ 3$时，$\frac{19x + 16}{8} ≥ \frac{19×3 + 16}{8} = \frac{73}{8} = 9.125$，$y$无符合题意的整数解。
满足条件的两位数共有$5 + 3 = 8$个。
8
根据题意，得$10x + y + 8 ≤ \frac{10y + x}{2}$，
两边同乘$2$：$20x + 2y + 16 ≤ 10y + x$，
移项化简：$19x + 16 ≤ 8y$，即$y ≥ \frac{19x + 16}{8}$。
当$x = 1$时，$y ≥ \frac{19×1 + 16}{8} = \frac{35}{8} = 4.375$，$y$可取$5,6,7,8,9$，共$5$个；
当$x = 2$时，$y ≥ \frac{19×2 + 16}{8} = \frac{54}{8} = 6.75$，$y$可取$7,8,9$，共$3$个；
当$x ≥ 3$时，$\frac{19x + 16}{8} ≥ \frac{19×3 + 16}{8} = \frac{73}{8} = 9.125$，$y$无符合题意的整数解。
满足条件的两位数共有$5 + 3 = 8$个。
8
3. 某中学准备从商店一次性购买一批足球和篮球共 50 个用于开展课后服务训练，要求总费用不超过 12800 元. 现有甲、乙两商店的价格均为每个篮球 300 元，每个足球 200 元，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买篮球按原价 90%收费，足球不优惠；在乙店购买篮球不优惠，但购买足球按原价 90%收费. 那么学校到哪家商店购买篮球和足球花费较少？
答案：3. 解:设购买足球x个,则购买篮球$(50-x)$个,设在甲、乙两店购买所需的费用分别为$w_{1}$元,$w_{2}$元,则$w_{1}=200x+0.9×300(50-x)=-70x+13500$,$w_{2}=0.9×200x+300(50-x)=-120x+15000$.
根据题意,得$\{\begin{array}{l} -70x+13500≤12800,\\ -120x+15000≤12800,\\ 50-x≥0,\end{array} $解得$18\frac {1}{3}≤x≤50$.若$w_{2}＞w_{1}$,则$-120x+15000＞-70x+13500$,解得$x＜30$.若$w_{2}=w_{1}$,则$-120x+15000=-70x+13500$,解得$x=30$.若$w_{2}＜w_{1}$,则$-120x+15000＜-70x+13500$,解得$x＞30$.综上所述,当购买足球的数量大于或等于19且小于30时,到甲店购买花费较少;当购买足球的数量等于30时,甲、乙两店费用相同;当购买足球的数量大于30且小于或等于50时,到乙店购买花费较少.
根据题意,得$\{\begin{array}{l} -70x+13500≤12800,\\ -120x+15000≤12800,\\ 50-x≥0,\end{array} $解得$18\frac {1}{3}≤x≤50$.若$w_{2}＞w_{1}$,则$-120x+15000＞-70x+13500$,解得$x＜30$.若$w_{2}=w_{1}$,则$-120x+15000=-70x+13500$,解得$x=30$.若$w_{2}＜w_{1}$,则$-120x+15000＜-70x+13500$,解得$x＞30$.综上所述,当购买足球的数量大于或等于19且小于30时,到甲店购买花费较少;当购买足球的数量等于30时,甲、乙两店费用相同;当购买足球的数量大于30且小于或等于50时,到乙店购买花费较少.