1. 如果 $10^{b}=n$，那么称 $b$ 为 $n$ 的“拉格数”，记为 $d(n)$，由定义可知：$d(n)=b$，如 $10^{2}=100$，则 $d(100)=d(10^{2})=2$。现给出下列关于“拉格数”$d(n)$ 的结论：①$d(10)=10$；②$d(10^{-2})=-2$；③$\frac{d(10^{3})}{d(10)}=3$；④$d(mn)=d(m)+d(n)$；⑤$d(\frac{m}{n})=d(m)÷ d(n)$。其中正确的结论是(
A.①③④
B.②③④
C.②③⑤
D.②④⑤
B
)A.①③④
B.②③④
C.②③⑤
D.②④⑤
答案：1. B
解析：
②$d(10^{-2})=-2$；③$\frac{d(10^{3})}{d(10)}=3$；④$d(mn)=d(m)+d(n)$。正确的结论是②③④。
$2. $定义一种运算$ $：$a\&b=\begin{cases}\frac{b - a}{2}(a＜ b),\frac{a - b}{2}(a≥ b).\end{cases} $若$ 2\&(20\&x)=1，$则$ x $的所有可能的值是$ ______ 。$
答案：2. 20 或 12 或 28 点拨:当$x≤ 20$时,$20\& x=\frac{20 - x}{2}$,所以$2\&\frac{20 - x}{2}=1$.当$\frac{20 - x}{2}≤ 2$时,$x≥ 16$,即$16≤ x≤ 20$时,原方程可转化为$(2-\frac{20 - x}{2})÷ 2 = 1$,解得$x = 20$.当$\frac{20 - x}{2}＞2$,即$x ＜ 16$时,原方程可化为$(\frac{20 - x}{2}-2)÷ 2 = 1$,解得$x = 12$.当$x ＞ 20$时,$20\& x=\frac{x - 20}{2}$,所以$2\&\frac{x - 20}{2}=1$.当$\frac{x - 20}{2}≤ 2$时,$x≤ 24$,即$20 ＜ x≤ 24$时,原方程可化为$(2-\frac{x - 20}{2})÷ 2 = 1$,解得$x = 20$(舍去).当$\frac{x - 20}{2}＞2$,即$x ＞ 24$时,原方程可化为$(\frac{x - 20}{2}-2)÷ 2 = 1$,解得$x = 28$.综上,$x$的值为 20 或 12 或 28.
解析：
当$x ≤ 20$时，$20\&x = \frac{20 - x}{2}$，则$2\&\frac{20 - x}{2} = 1$。
若$\frac{20 - x}{2} ≤ 2$，即$x ≥ 16$，此时$16 ≤ x ≤ 20$，方程化为$\frac{2 - \frac{20 - x}{2}}{2} = 1$，解得$x = 20$。
若$\frac{20 - x}{2} ＞ 2$，即$x ＜ 16$，方程化为$\frac{\frac{20 - x}{2} - 2}{2} = 1$，解得$x = 12$。
当$x ＞ 20$时，$20\&x = \frac{x - 20}{2}$，则$2\&\frac{x - 20}{2} = 1$。
若$\frac{x - 20}{2} ≤ 2$，即$x ≤ 24$，此时$20 ＜ x ≤ 24$，方程化为$\frac{2 - \frac{x - 20}{2}}{2} = 1$，解得$x = 20$（舍去）。
若$\frac{x - 20}{2} ＞ 2$，即$x ＞ 24$，方程化为$\frac{\frac{x - 20}{2} - 2}{2} = 1$，解得$x = 28$。
综上，$x$的所有可能的值是$12$或$20$或$28$。
$12$或$20$或$28$
若$\frac{20 - x}{2} ≤ 2$，即$x ≥ 16$，此时$16 ≤ x ≤ 20$，方程化为$\frac{2 - \frac{20 - x}{2}}{2} = 1$，解得$x = 20$。
若$\frac{20 - x}{2} ＞ 2$，即$x ＜ 16$，方程化为$\frac{\frac{20 - x}{2} - 2}{2} = 1$，解得$x = 12$。
当$x ＞ 20$时，$20\&x = \frac{x - 20}{2}$，则$2\&\frac{x - 20}{2} = 1$。
若$\frac{x - 20}{2} ≤ 2$，即$x ≤ 24$，此时$20 ＜ x ≤ 24$，方程化为$\frac{2 - \frac{x - 20}{2}}{2} = 1$，解得$x = 20$（舍去）。
若$\frac{x - 20}{2} ＞ 2$，即$x ＞ 24$，方程化为$\frac{\frac{x - 20}{2} - 2}{2} = 1$，解得$x = 28$。
综上，$x$的所有可能的值是$12$或$20$或$28$。
$12$或$20$或$28$
3. 【概念学习】定义：对于一个三位的自然数 $n$，各数位上的数字都不为 $0$，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 $n$ 为“好数”。
例如，$714$ 是“好数”，因为它是一个三位的自然数，$7$，$1$，$4$ 都不为 $0$，且 $7 + 1 = 8$，$8÷4 = 2$，$2$ 为整数；$643$ 不是“好数”，因为 $6 + 4 = 10$，$10÷3$ 的商不是整数。
【初步探究】
(1)自然数 $312$，$675$，$981$，$802$ 中是“好数”的为
(2)下列说法：①个位数字为 $1$ 的一个三位自然数一定是“好数”；②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”。其中正确的是
【深入思考】
(3)求同时满足下列条件的“好数”：①百位数字比十位数字大 $5$；②百位数字与十位数字之和等于个位数字。
例如，$714$ 是“好数”，因为它是一个三位的自然数，$7$，$1$，$4$ 都不为 $0$，且 $7 + 1 = 8$，$8÷4 = 2$，$2$ 为整数；$643$ 不是“好数”，因为 $6 + 4 = 10$，$10÷3$ 的商不是整数。
【初步探究】
(1)自然数 $312$，$675$，$981$，$802$ 中是“好数”的为
312,981
。(2)下列说法：①个位数字为 $1$ 的一个三位自然数一定是“好数”；②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”。其中正确的是
②
。(填序号)【深入思考】
(3)求同时满足下列条件的“好数”：①百位数字比十位数字大 $5$；②百位数字与十位数字之和等于个位数字。
答案：3. (1)312,981
(2)②
(3)解:设十位数字为$x$,个位数字为$y$,则百位数字为$x + 5$,根据题意,得$y = x + x + 5$,即$y = 2x + 5$.因为$1≤ x≤ 9$,$1≤ y≤ 9$,所以$1≤ 2x + 5≤ 9$,所以$1≤ x≤ 2$,所以$x = 1$或$x = 2$.当$x = 1$时,“好数”为 617;当$x = 2$时,“好数”为 729.综上,满足条件的“好数”为 617 或 729.
(2)②
(3)解:设十位数字为$x$,个位数字为$y$,则百位数字为$x + 5$,根据题意,得$y = x + x + 5$,即$y = 2x + 5$.因为$1≤ x≤ 9$,$1≤ y≤ 9$,所以$1≤ 2x + 5≤ 9$,所以$1≤ x≤ 2$,所以$x = 1$或$x = 2$.当$x = 1$时,“好数”为 617;当$x = 2$时,“好数”为 729.综上,满足条件的“好数”为 617 或 729.