1. 设$a = x - 2022$，$b = x - 2024$，$c = x - 2023$.若$a^2 + b^2 = 16$，则$c^2$的值是(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：1. C 点拨:因为$a=x-2022$，$b=x-2024$，$c=x-2023$，所以$a-1=x-2023=c=b+1$，所以$a-b=2$。因为$a^{2}+b^{2}=16$，所以$(a-b)^{2}+2ab=16$，所以$2^{2}+2ab=16$，所以$ab=6$，所以$c^{2}=(a-1)(b+1)=ab+a-b-1=6+2-1=7$。
2. 已知$(a^2 + 4)(b^2 + 1) = 8ab$，则代数式$a(\dfrac{2}{b} - 3b)$的值为
-2
.答案：2. $-2$ 点拨:因为$(a^{2}+4)(b^{2}+1)=8ab$，所以$(ab)^{2}+a^{2}+4b^{2}+4=8ab$，所以$(ab)^{2}-4ab+4+a^{2}-4ab+4b^{2}=0$，即$(ab-2)^{2}+(a-2b)^{2}=0$，所以$\begin{cases}ab-2=0,\\a-2b=0,\end{cases}$所以$ab=2$，$a=2b$，所以$a(\dfrac{2}{b}-3b)=\dfrac{2a}{b}-3ab=\dfrac{2·2b}{b}-3×2=4-6=-2$。
3. 阅读下列解题过程：已知$x ≠ 0$且满足$x^2 - 3x = 1$，求$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$的值.
解：因为$x^2 - 3x = 1$，所以$x^2 - 3x - 1 = 0$.因为$x ≠ 0$，所以$x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0$，所以$x - \dfrac{1}{x} = 3$，所以$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x - \dfrac{1}{x})^2 + 2 = 3^2 + 2 = 11$.
请通过阅读以上内容，解答问题：已知$a ≠ 0$，且满足$(2a + 1)(1 - 2a) - (3 - 2a)^2 + 9a^2 = 14a - 7$，求下列各式的值：
（1）$a^2 + \dfrac{1}{a^2}$；
（2）$\dfrac{a^2}{5a^4 + a^2 + 5}$.
解：因为$x^2 - 3x = 1$，所以$x^2 - 3x - 1 = 0$.因为$x ≠ 0$，所以$x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0$，所以$x - \dfrac{1}{x} = 3$，所以$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (x - \dfrac{1}{x})^2 + 2 = 3^2 + 2 = 11$.
请通过阅读以上内容，解答问题：已知$a ≠ 0$，且满足$(2a + 1)(1 - 2a) - (3 - 2a)^2 + 9a^2 = 14a - 7$，求下列各式的值：
（1）$a^2 + \dfrac{1}{a^2}$；
（2）$\dfrac{a^2}{5a^4 + a^2 + 5}$.
答案：3. 解:因为$(2a+1)(1-2a)-(3-2a)^{2}+9a^{2}=14a-7$，所以$1-4a^{2}-(9-12a+4a^{2})+9a^{2}=14a-7$，所以$1-4a^{2}-9+12a-4a^{2}+9a^{2}=14a-7$，所以$a^{2}-2a-1=0$。因为$a≠0$，所以$a-2-\dfrac{1}{a}=0$，所以$a-\dfrac{1}{a}=2$。
(1)$a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=(a-\dfrac{1}{a})^{2}+2=2^{2}+2=6$。
(2)$\dfrac{a^{2}}{5a^{4}+a^{2}+5}=\dfrac{1}{5a^{2}+1+\dfrac{5}{a^{2}}}=\dfrac{1}{5(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}})+1}=\dfrac{1}{5×6+1}=\dfrac{1}{31}$。
(1)$a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=(a-\dfrac{1}{a})^{2}+2=2^{2}+2=6$。
(2)$\dfrac{a^{2}}{5a^{4}+a^{2}+5}=\dfrac{1}{5a^{2}+1+\dfrac{5}{a^{2}}}=\dfrac{1}{5(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}})+1}=\dfrac{1}{5×6+1}=\dfrac{1}{31}$。