1. 观察下列算式:①$(a - 1)(a + 1) = a^{2} - 1$;②$(a - 1)(a^{2} + a + 1) = a^{3} - 1$;③$(a - 1)(a^{3} + a^{2} + a + 1) = a^{4} - 1$,$···$,结合你观察到的规律判断$2^{2025} + 2^{2024} + ··· + 2^{2} + 2 + 1$的计算结果的末位数字为(
A.1
B.3
C.5
D.7
B
)A.1
B.3
C.5
D.7
答案：1. B 点拨:由题意可知$(a - 1)(a^{n}+a^{n - 1}+··· + a^{2}+a + 1)=a^{n + 1}-1$，从而原式$=(2 - 1)×(2^{2025}+2^{2024}+··· + 2^{2}+2 + 1)=2^{2026}-1$。因为$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$···$，所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组依次循环。因为$2026÷4 = 506······2$，所以$2^{2026}$的末位数字为4，所以$2^{2026}-1$的末位数字为3。
2. 已知$(a + b)^{2} - c^{2} = 12$,且$a + b + c = - 3$,则$ac + bc =$
$-\frac{7}{4}$
.答案：2. $-\frac{7}{4}$ 点拨:因为$(a + b)^{2}-c^{2}=12$，所以$(a + b + c)(a + b - c)=12$。又因为$a + b + c=-3$，所以$a + b - c=-4$，所以$ac + bc = c(a + b)=\frac{1}{4}[(a + b + c)^{2}-(a + b - c)^{2}]=\frac{1}{4}[(-3)^{2}-(-4)^{2}]=-\frac{7}{4}$。
3. 材料一:如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么我们称这个正整数为连续平方差数,如$96 = 25^{2} - 23^{2}$,则$96$是连续平方差数;材料二:对于一个三位自然数$M$,去掉个位数字后成为一个两位数$M_{1}$,去掉百位数字后成为一个两位数$M_{2}$,若$F(M) = \frac{M_{1} - M_{2}}{9}(M_{1} ＞ M_{2})$为整数,则称$M$是一个关于$9$的对称数,如$F(545) = \frac{54 - 45}{9} = 1$,则称$545$是关于$9$的对称数.
(1) 请判断$56$是否是连续平方差数,并说明理由;
(2) 试说明:任何一个连续平方差数一定是$8$的倍数;
(3) 已知一个三位数既是连续平方差数,又是关于$9$的对称数,求满足条件的所有三位数.
(1) 请判断$56$是否是连续平方差数,并说明理由;
(2) 试说明:任何一个连续平方差数一定是$8$的倍数;
(3) 已知一个三位数既是连续平方差数,又是关于$9$的对称数,求满足条件的所有三位数.
答案：3. 解:(1)56是连续平方差数。理由:因为$56 = 15^{2}-13^{2}$，所以56是连续平方差数。
(2)设连续的两个奇数分别为$2k + 3$，$2k + 1$（$k$为整数），则$(2k + 3)^{2}-(2k + 1)^{2}=4k^{2}+12k + 9-(4k^{2}+4k + 1)=8k + 8 = 8(k + 1)$，所以任何一个连续平方差数一定是8的倍数。
(3)设这个三位数为$100a + 10b + c$（$a$，$b$，$c$均为小于10的自然数，且$ab≠0$），则$\frac{100a + 10b + c}{8}=12a + b+\frac{4a + 2b + c}{8}$是整数，且$\frac{10a + b-(10b + c)}{9}=a - b+\frac{a - c}{9}$是整数，$a ＞ b$，所以满足条件的$a$，$b$，$c$有$a = c = 4$，$b = 2$，此时三位数为424；$a = c = 6$，$b = 1$或$b = 5$，此时三位数为616或656；$a = c = 8$，$b = 4$，此时三位数为848；$a = 9$，$b = 6$，$c = 0$，此时三位数为960；$a = 9$，$b = 2$，$c = 0$，此时三位数为920。综上，满足条件的三位数有424，616，656，848，960，920。
(2)设连续的两个奇数分别为$2k + 3$，$2k + 1$（$k$为整数），则$(2k + 3)^{2}-(2k + 1)^{2}=4k^{2}+12k + 9-(4k^{2}+4k + 1)=8k + 8 = 8(k + 1)$，所以任何一个连续平方差数一定是8的倍数。
(3)设这个三位数为$100a + 10b + c$（$a$，$b$，$c$均为小于10的自然数，且$ab≠0$），则$\frac{100a + 10b + c}{8}=12a + b+\frac{4a + 2b + c}{8}$是整数，且$\frac{10a + b-(10b + c)}{9}=a - b+\frac{a - c}{9}$是整数，$a ＞ b$，所以满足条件的$a$，$b$，$c$有$a = c = 4$，$b = 2$，此时三位数为424；$a = c = 6$，$b = 1$或$b = 5$，此时三位数为616或656；$a = c = 8$，$b = 4$，此时三位数为848；$a = 9$，$b = 6$，$c = 0$，此时三位数为960；$a = 9$，$b = 2$，$c = 0$，此时三位数为920。综上，满足条件的三位数有424，616，656，848，960，920。