1. 若$y = x - 6$,$xy = 11$,则代数式$x^2 - 5xy + y^2$的值为(
A.3
B.5
C.11
D.17
A
)A.3
B.5
C.11
D.17
答案：1. A 点拨:因为 $ y = x - 6 $，$ xy = 11 $，所以 $ x - y = 6 $，所以 $ x^{2}-5xy + y^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}-3xy=(x - y)^{2}-3xy=6^{2}-3×11 = 36 - 33 = 3 $。
2. 已知$a - b = b - c = \frac{3}{5}$,$a^2 + b^2 + c^2 = 1$,则$ab + bc + ca =$
$ -\frac{2}{25} $
.答案：2. $ -\frac{2}{25} $ 点拨:因为 $ a - b = b - c = \frac{3}{5} $，所以 $ (a - b)^{2}=(b - c)^{2}=\frac{9}{25} $，$ a - c = \frac{6}{5} $，所以 $ a^{2}+b^{2}-2ab = b^{2}+c^{2}-2bc=\frac{9}{25} $，$ a^{2}+c^{2}-2ac=\frac{36}{25} $，所以 $ 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab + bc + ca)=\frac{9}{25}+\frac{9}{25}+\frac{36}{25}=\frac{54}{25} $。因为 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $，所以 $ 2 - 2(ab + bc + ca)=\frac{54}{25} $，所以 $ 1-(ab + bc + ca)=\frac{27}{25} $，所以 $ ab + bc + ca=-\frac{2}{25} $。
解析：
因为 $a - b = b - c = \frac{3}{5}$，所以 $(a - b)^2 = (b - c)^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$，$a - c = (a - b) + (b - c) = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$，则 $(a - c)^2 = (\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{25}$。
展开可得：$a^2 + b^2 - 2ab = \frac{9}{25}$，$b^2 + c^2 - 2bc = \frac{9}{25}$，$a^2 + c^2 - 2ac = \frac{36}{25}$。
三式相加：$2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = \frac{9}{25} + \frac{9}{25} + \frac{36}{25} = \frac{54}{25}$。
已知 $a^2 + b^2 + c^2 = 1$，代入得：$2×1 - 2(ab + bc + ca) = \frac{54}{25}$，即 $2 - 2(ab + bc + ca) = \frac{54}{25}$。
两边同时除以 2：$1 - (ab + bc + ca) = \frac{27}{25}$，所以 $ab + bc + ca = 1 - \frac{27}{25} = -\frac{2}{25}$。
$-\frac{2}{25}$
展开可得：$a^2 + b^2 - 2ab = \frac{9}{25}$，$b^2 + c^2 - 2bc = \frac{9}{25}$，$a^2 + c^2 - 2ac = \frac{36}{25}$。
三式相加：$2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = \frac{9}{25} + \frac{9}{25} + \frac{36}{25} = \frac{54}{25}$。
已知 $a^2 + b^2 + c^2 = 1$，代入得：$2×1 - 2(ab + bc + ca) = \frac{54}{25}$，即 $2 - 2(ab + bc + ca) = \frac{54}{25}$。
两边同时除以 2：$1 - (ab + bc + ca) = \frac{27}{25}$，所以 $ab + bc + ca = 1 - \frac{27}{25} = -\frac{2}{25}$。
$-\frac{2}{25}$
3. 将代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性增加问题的条件,这种解题方法通常称为配方法. 配方法在代数式求值、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用. 例如,若代数式$M = a^2 - 2ab + 2b^2 - 2b + 2$,利用配方法求$M$的最小值. 因为$M = a^2 - 2ab + 2b^2 - 2b + 2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2b + 1 + 1 = (a - b)^2 + (b - 1)^2 + 1$,$(a - b)^2 ≥ 0$,$(b - 1)^2 ≥ 0$,所以$M = (a - b)^2 + (b - 1)^2 + 1 ≥ 1$,所以当$a = b = 1$时,代数式$M$有最小值 1.
请根据上述材料解决下列问题:
(1) 在横线上添上一个常数项,使之成为完全平方式:$a^2 + 6a +$
(2) 若代数式$N = -\frac{1}{4}a^2 + 2a + 1$,求$N$的最大值;
(3) 已知$\frac{37}{9}a^2 + 81b^2 = 36ab + 4a - 36$,求$a$,$b$的值.
请根据上述材料解决下列问题:
(1) 在横线上添上一个常数项,使之成为完全平方式:$a^2 + 6a +$
9
;(2) 若代数式$N = -\frac{1}{4}a^2 + 2a + 1$,求$N$的最大值;
(3) 已知$\frac{37}{9}a^2 + 81b^2 = 36ab + 4a - 36$,求$a$,$b$的值.
答案：3. (1)9
(2)解:$ N = -\frac{1}{4}a^{2}+2a + 1 = -\frac{1}{4}(a^{2}-8a + 16 - 16)+1 = -\frac{1}{4}(a - 4)^{2}+5 $，
因为无论 $ a $ 取何值时，都有 $ -\frac{1}{4}(a - 4)^{2}≤0 $，
所以 $ -\frac{1}{4}(a - 4)^{2}+5≤5 $，所以 $ N $ 的最大值为 5。
(3)解:因为 $ \frac{37}{9}a^{2}+81b^{2}=36ab + 4a - 36 $，
所以 $ (4a^{2}-36ab + 81b^{2})+(\frac{1}{9}a^{2}-4a + 36)=0 $，
所以 $ (2a - 9b)^{2}+(\frac{1}{3}a - 6)^{2}=0 $，
所以 $ 2a - 9b = 0 $ 且 $ \frac{1}{3}a - 6 = 0 $，
所以 $ a = 18 $，$ b = 4 $。
(2)解:$ N = -\frac{1}{4}a^{2}+2a + 1 = -\frac{1}{4}(a^{2}-8a + 16 - 16)+1 = -\frac{1}{4}(a - 4)^{2}+5 $，
因为无论 $ a $ 取何值时，都有 $ -\frac{1}{4}(a - 4)^{2}≤0 $，
所以 $ -\frac{1}{4}(a - 4)^{2}+5≤5 $，所以 $ N $ 的最大值为 5。
(3)解:因为 $ \frac{37}{9}a^{2}+81b^{2}=36ab + 4a - 36 $，
所以 $ (4a^{2}-36ab + 81b^{2})+(\frac{1}{9}a^{2}-4a + 36)=0 $，
所以 $ (2a - 9b)^{2}+(\frac{1}{3}a - 6)^{2}=0 $，
所以 $ 2a - 9b = 0 $ 且 $ \frac{1}{3}a - 6 = 0 $，
所以 $ a = 18 $，$ b = 4 $。