1. (2025·泗洪期末)下列各式中是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{8}$
B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
D.$\sqrt{5}$
D
)A.$\sqrt{8}$
B.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
D.$\sqrt{5}$
答案：1.D
2. (2025·泗阳期末)计算$\sqrt{2}×\sqrt{3}$的结果为(
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.5
D.6
B
)A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.5
D.6
答案：2.B
解析：
$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6}$，结果为B。
3. (2025·宜兴期末)若$\sqrt{x}·\sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$成立，则$x$应满足的条件是(
A.$x≥6$
B.$x≥0$
C.$0≤x≤6$
D.$x$为一切实数
A
)A.$x≥6$
B.$x≥0$
C.$0≤x≤6$
D.$x$为一切实数
答案：3.A
解析：
要使$\sqrt{x}·\sqrt{x - 6} = \sqrt{x(x - 6)}$成立，需满足：
$\sqrt{x}$有意义，则$x≥0$；
$\sqrt{x - 6}$有意义，则$x - 6≥0$，即$x≥6$；
$\sqrt{x(x - 6)}$有意义，则$x(x - 6)≥0$，结合$x≥0$，可得$x - 6≥0$，即$x≥6$。
综上，$x$应满足$x≥6$。
A
$\sqrt{x}$有意义，则$x≥0$；
$\sqrt{x - 6}$有意义，则$x - 6≥0$，即$x≥6$；
$\sqrt{x(x - 6)}$有意义，则$x(x - 6)≥0$，结合$x≥0$，可得$x - 6≥0$，即$x≥6$。
综上，$x$应满足$x≥6$。
A
4. (2025·姑苏区期末)下列化简错误的是(
A.$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt[3]{-27} = -3$
C.$(\sqrt{3})^{-1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{(-4)^2} = -4$
D
)A.$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt[3]{-27} = -3$
C.$(\sqrt{3})^{-1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{(-4)^2} = -4$
答案：4.D
5. 若$x = \sqrt{2} + 1$，则代数式$x^2 - 2x + 1$的值为(
A.2
B.3
C.4
D.$3 - 2\sqrt{2}$
A
)A.2
B.3
C.4
D.$3 - 2\sqrt{2}$
答案：5.A
解析：
$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，将$x = \sqrt{2} + 1$代入得，$(\sqrt{2} + 1 - 1)^2=(\sqrt{2})^2=2$。A
6. 把$(a - b)\sqrt{\frac{1}{b - a}}$根号外的因式移进根号内，正确的结果是(
A.$\sqrt{b - a}$
B.$\sqrt{a - b}$
C.$-\sqrt{b - a}$
D.$-\sqrt{a - b}$
C
)A.$\sqrt{b - a}$
B.$\sqrt{a - b}$
C.$-\sqrt{b - a}$
D.$-\sqrt{a - b}$
答案：6.C
解析：
要使$\sqrt{\frac{1}{b - a}}$有意义，则$b - a＞0$，即$a - b＜0$。
$(a - b)\sqrt{\frac{1}{b - a}}=-(b - a)\sqrt{\frac{1}{b - a}}=-\sqrt{(b - a)^2·\frac{1}{b - a}}=-\sqrt{b - a}$
C
$(a - b)\sqrt{\frac{1}{b - a}}=-(b - a)\sqrt{\frac{1}{b - a}}=-\sqrt{(b - a)^2·\frac{1}{b - a}}=-\sqrt{b - a}$
C
7. (2025·盐城期末)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，记$p = \frac{a + b + c}{2}$，那么其面积$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$。若某个三角形的三边长分别为2，3，3，则其面积$S$介于哪两个整数之间(
A.1与2
B.2与3
C.3与4
D.4与5
B
)A.1与2
B.2与3
C.3与4
D.4与5
答案：7.B
解析：
$a=2$，$b=3$，$c=3$，$p=\frac{2+3+3}{2}=4$，$S=\sqrt{4×(4-2)×(4-3)×(4-3)}=\sqrt{4×2×1×1}=\sqrt{8}$，因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜8＜9$，所以$2＜\sqrt{8}＜3$，面积$S$介于2与3之间。B
8. (2025·锡山区期末)正方形$ABCD$与正方形$BEFG$如图放置，$AB = 6$，$AG$，$CE$相交于点$P$，$Q$为$AD$边上一点，且$DQ:AQ = 1:2$，则$PQ$的最大值为(
A.$3\sqrt{2} + 3$
B.$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
C.7
D.$\sqrt{53}$
B
)A.$3\sqrt{2} + 3$
B.$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$
C.7
D.$\sqrt{53}$
答案：8.B
解析：
解：设正方形$BEFG$的边长为$t(t＞0)$，以$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$AD$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
则$A(0,0)$，$B(6,0)$，$E(6+t,0)$，$G(6,t)$，$C(6,6)$。
$\because DQ:AQ = 1:2$，$AD = 6$，$\therefore AQ = 4$，$Q(0,4)$。
直线$AG$的解析式：由$A(0,0)$，$G(6,t)$，得$y=\frac{t}{6}x$。
直线$CE$的解析式：由$C(6,6)$，$E(6+t,0)$，得$y=-\frac{6}{t}(x - 6 - t)$。
联立$\begin{cases}y=\frac{t}{6}x\\y=-\frac{6}{t}(x - 6 - t)\end{cases}$，解得$P(\frac{6t(t + 6)}{t^2 + 36},\frac{t^2(t + 6)}{6(t^2 + 36)})$。
$PQ^2=(\frac{6t(t + 6)}{t^2 + 36}-0)^2+(\frac{t^2(t + 6)}{6(t^2 + 36)}-4)^2$，令$k = t+\frac{36}{t}(k≥12)$，化简得$PQ^2=10+\frac{36(k - 6)}{k^2 + 36}$。
设$f(k)=\frac{36(k - 6)}{k^2 + 36}(k≥12)$，求导得$f'(k)=\frac{36(-k^2 + 12k + 36)}{(k^2 + 36)^2}$，当$k = 6 + 6\sqrt{2}$时，$f(k)$最大，此时$PQ^2=28 + 12\sqrt{2}$，$PQ=3\sqrt{2}+\sqrt{10}$。
答案：B
则$A(0,0)$，$B(6,0)$，$E(6+t,0)$，$G(6,t)$，$C(6,6)$。
$\because DQ:AQ = 1:2$，$AD = 6$，$\therefore AQ = 4$，$Q(0,4)$。
直线$AG$的解析式：由$A(0,0)$，$G(6,t)$，得$y=\frac{t}{6}x$。
直线$CE$的解析式：由$C(6,6)$，$E(6+t,0)$，得$y=-\frac{6}{t}(x - 6 - t)$。
联立$\begin{cases}y=\frac{t}{6}x\\y=-\frac{6}{t}(x - 6 - t)\end{cases}$，解得$P(\frac{6t(t + 6)}{t^2 + 36},\frac{t^2(t + 6)}{6(t^2 + 36)})$。
$PQ^2=(\frac{6t(t + 6)}{t^2 + 36}-0)^2+(\frac{t^2(t + 6)}{6(t^2 + 36)}-4)^2$，令$k = t+\frac{36}{t}(k≥12)$，化简得$PQ^2=10+\frac{36(k - 6)}{k^2 + 36}$。
设$f(k)=\frac{36(k - 6)}{k^2 + 36}(k≥12)$，求导得$f'(k)=\frac{36(-k^2 + 12k + 36)}{(k^2 + 36)^2}$，当$k = 6 + 6\sqrt{2}$时，$f(k)$最大，此时$PQ^2=28 + 12\sqrt{2}$，$PQ=3\sqrt{2}+\sqrt{10}$。
答案：B