9. 若式子$\frac{\sqrt{x + 5}}{x}$有意义，则$x$的取值范围是
x≥−5且x≠0
。答案：9.x≥−5且x≠0
解析：
要使式子$\frac{\sqrt{x + 5}}{x}$有意义，需满足：
1. 二次根式被开方数非负：$x + 5 ≥ 0$，解得$x ≥ -5$；
2. 分母不为零：$x ≠ 0$。
综上，$x$的取值范围是$x ≥ -5$且$x ≠ 0$。
$x ≥ -5$且$x ≠ 0$
1. 二次根式被开方数非负：$x + 5 ≥ 0$，解得$x ≥ -5$；
2. 分母不为零：$x ≠ 0$。
综上，$x$的取值范围是$x ≥ -5$且$x ≠ 0$。
$x ≥ -5$且$x ≠ 0$
10. 已知关于$x$的方程$\sqrt{x - 14} = 2$，则$x =$
18
。答案：10.18
解析：
$\sqrt{x - 14} = 2$
两边平方得：$x - 14 = 4$
解得：$x = 18$
经检验，$x = 18$是原方程的解。
$x = 18$
两边平方得：$x - 14 = 4$
解得：$x = 18$
经检验，$x = 18$是原方程的解。
$x = 18$
11. 计算：$3\sqrt{2} - \sqrt{2} =$
2$\sqrt{2}$
。答案：11.2$\sqrt{2}$
解析：
$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
12. 如图，数轴上点$A$表示的数为$a$，化简$a + \sqrt{a^2} =$
0
。答案：12.0
解析：
解：由数轴可知，点$A$在原点左侧，所以$a ＜ 0$。
因为$\sqrt{a^2} = |a|$，又$a ＜ 0$，所以$|a| = -a$。
则$a + \sqrt{a^2} = a + |a| = a + (-a) = 0$。
0
因为$\sqrt{a^2} = |a|$，又$a ＜ 0$，所以$|a| = -a$。
则$a + \sqrt{a^2} = a + |a| = a + (-a) = 0$。
0
13. (2025·宿城期末)计算$(-\frac{1}{2025})^0 - \sqrt{64} + (-\sqrt{2})^2$的结果为
−5
。答案：13.−5
解析：
$(-\frac{1}{2025})^0 - \sqrt{64} + (-\sqrt{2})^2$
$=1 - 8 + 2$
$=-5$
$=1 - 8 + 2$
$=-5$
14. (2025·常熟期末)已知最简二次根式$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式，则$\sqrt{2a^3}·\sqrt{8a}$的值为
16
。答案：14.16
解析：
因为最简二次根式$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式，所以$2a + 1=5$，解得$a = 2$。
$\sqrt{2a^3}·\sqrt{8a}=\sqrt{2a^3·8a}=\sqrt{16a^4}=4a^2$，将$a = 2$代入，得$4×2^2 = 16$。
16
$\sqrt{2a^3}·\sqrt{8a}=\sqrt{2a^3·8a}=\sqrt{16a^4}=4a^2$，将$a = 2$代入，得$4×2^2 = 16$。
16
15. (2025·苏州吴中区期末)一个长方形长与宽的比是$5:3$，它的对角线长为$\sqrt{68}$，则它的面积是
30
。答案：15.30
解析：
设长方形的长为$5x$，宽为$3x$。
由勾股定理得：$(5x)^2 + (3x)^2 = (\sqrt{68})^2$
$25x^2 + 9x^2 = 68$
$34x^2 = 68$
$x^2 = 2$
面积为$5x × 3x = 15x^2 = 15×2 = 30$
30
由勾股定理得：$(5x)^2 + (3x)^2 = (\sqrt{68})^2$
$25x^2 + 9x^2 = 68$
$34x^2 = 68$
$x^2 = 2$
面积为$5x × 3x = 15x^2 = 15×2 = 30$
30
16. 直角三角形的两条边长分别为$\sqrt{2}cm$，$\sqrt{10}cm$，则这个直角三角形的面积为
2或$\sqrt{5}$
$cm^2$。答案：16.2或$\sqrt{5}$
解析：
当$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$为直角边时，面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{10}=\frac{1}{2}×\sqrt{20}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}^2$；当$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$为斜边，$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$为直角边时，另一直角边为$\sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{10 - 2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
2或$\sqrt{5}$
2或$\sqrt{5}$
17. 计算：$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{2}) =$
2$\sqrt{6}$
。答案：17.2$\sqrt{6}$
解析：
$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{2})$
$=[\sqrt{5} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})][\sqrt{5} - (\sqrt{3} - \sqrt{2})]$
$=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$
$=5 - (3 - 2\sqrt{6} + 2)$
$=5 - (5 - 2\sqrt{6})$
$=5 - 5 + 2\sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}$
$=[\sqrt{5} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})][\sqrt{5} - (\sqrt{3} - \sqrt{2})]$
$=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$
$=5 - (3 - 2\sqrt{6} + 2)$
$=5 - (5 - 2\sqrt{6})$
$=5 - 5 + 2\sqrt{6}$
$=2\sqrt{6}$
18. 观察下列等式：$x_1 = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{1×2}$；$x_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} = \frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{2×3}$；$x_3 = \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} = \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{3×4}$……
根据以上规律，计算$x_1 + x_2 + x_3 + ··· + x_{2024} - 2024 =$
根据以上规律，计算$x_1 + x_2 + x_3 + ··· + x_{2024} - 2024 =$
$\frac{2024}{2025}$
。答案：18.$\frac{2024}{2025}$
解析：
由规律可得$x_n = 1 + \frac{1}{n(n + 1)}$，则$x_1 + x_2 + ··· + x_{2024} = 2024 + (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ··· + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}) = 2024 + 1 - \frac{1}{2025}$，所以$x_1 + x_2 + ··· + x_{2024} - 2024 = 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025}$
$\frac{2024}{2025}$
$\frac{2024}{2025}$
19. 已知实数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：$\sqrt{(a + 1)^2} + \sqrt{(b - 1)^2} - |a - b|$。
答案：19.解：由题图，得a＜−1，b＞1，a＜b，
∴a + 1＜0，b−1＞0，a−b＜0，
∴原式 = |a + 1|+|b−1|−|a−b| = −(a + 1)+(b−1)+(a−b) = −a−1+b−1+a−b = −2.
∴a + 1＜0，b−1＞0，a−b＜0，
∴原式 = |a + 1|+|b−1|−|a−b| = −(a + 1)+(b−1)+(a−b) = −a−1+b−1+a−b = −2.