20. 先化简，再求值：$(1 + \frac{2}{x + 1})·\frac{x + 1}{x^2 - 9}$，其中$x = \sqrt{3} + 3$。
答案：20.解：原式 = $\frac{x + 3}{x + 1}$·$\frac{x + 1}{(x + 3)(x - 3)}$ = $\frac{1}{x - 3}$，
当x = $\sqrt{3}$ + 3时，原式 = $\frac{1}{\sqrt{3}+3 - 3}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
当x = $\sqrt{3}$ + 3时，原式 = $\frac{1}{\sqrt{3}+3 - 3}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
21. (2025·泗洪期末)计算：(1)$\sqrt{5}×(\sqrt{5} + 5) - 5$；(2)$\sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{6}÷\sqrt{2}$。
答案：21.解：(1)原式 = $\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$×5−5 = 5 + 5$\sqrt{5}$−5 = 5$\sqrt{5}$.
(2)原式 = $\sqrt{24×\frac{1}{2}}$−$\sqrt{6÷2}$ = $\sqrt{12}$−$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$.
(2)原式 = $\sqrt{24×\frac{1}{2}}$−$\sqrt{6÷2}$ = $\sqrt{12}$−$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$.
22. (2025·南通崇川区期末)已知$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$，$x$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$\frac{a - b - 2}{a + b}$的值。
答案：22.解：
∵x = $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ = 2 + $\sqrt{3}$，1＜$\sqrt{3}$＜2，x的整数部分为a，小数部分为b，
∴a = 3，b = $\sqrt{3}$−1，
∴原式 = $\frac{3 - (\sqrt{3} - 1) - 2}{3 + \sqrt{3} - 1}$ = $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ = (2 - $\sqrt{3}$)² = 7 - 4$\sqrt{3}$.
∵x = $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ = 2 + $\sqrt{3}$，1＜$\sqrt{3}$＜2，x的整数部分为a，小数部分为b，
∴a = 3，b = $\sqrt{3}$−1，
∴原式 = $\frac{3 - (\sqrt{3} - 1) - 2}{3 + \sqrt{3} - 1}$ = $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ = (2 - $\sqrt{3}$)² = 7 - 4$\sqrt{3}$.
23. 通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题。例如：如图①，在正方形网格中(每个小正方形的边长都为1)构造$△ ABC$，比较$\sqrt{5} + 1$与$\sqrt{10}$的大小。其解答过程如下：因为点$A$，$B$，$C$都为小正方形的顶点，小正方形的边长为1，所以$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，$AC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$BC = 1$，因为在$△ ABC$中，$AB + BC ＞ AC$(三角形任意两边之和大于第三边)，所以$\sqrt{5} + 1 ＞ \sqrt{10}$。
(1)在上面解决问题的过程中，体现的一种重要的数学思想是
A. 类比思想
B. 整体思想
C. 分类讨论思想
D. 数形结合思想
(2)参考上面的方法，在图②中，构造图形，比较$\sqrt{17} - \sqrt{2}$与$\sqrt{13}$的大小，并说明理由。
(1)在上面解决问题的过程中，体现的一种重要的数学思想是
D
。(填写正确选项的字母代号)A. 类比思想
B. 整体思想
C. 分类讨论思想
D. 数形结合思想
(2)参考上面的方法，在图②中，构造图形，比较$\sqrt{17} - \sqrt{2}$与$\sqrt{13}$的大小，并说明理由。
答案：
23.(1)D
(2)解：$\sqrt{17}$ - $\sqrt{2}$＜$\sqrt{13}$.理由如下：根据题意构造△ABC，如答图.
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴AB - AC＜BC.
∵AB = $\sqrt{1^{2}+4^{2}}$ = $\sqrt{17}$，AC = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$，BC = $\sqrt{2^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{17}$ - $\sqrt{2}$＜$\sqrt{13}$.
23.(1)D
(2)解：$\sqrt{17}$ - $\sqrt{2}$＜$\sqrt{13}$.理由如下：根据题意构造△ABC，如答图.
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴AB - AC＜BC.
∵AB = $\sqrt{1^{2}+4^{2}}$ = $\sqrt{17}$，AC = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$，BC = $\sqrt{2^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{17}$ - $\sqrt{2}$＜$\sqrt{13}$.