1. 以下调查中,最适合采用普查的是(
A.了解全市中学生的睡眠时间
B.了解某班同学的身高情况
C.了解一批灯泡的使用寿命
D.了解长江的水质情况
B
)A.了解全市中学生的睡眠时间
B.了解某班同学的身高情况
C.了解一批灯泡的使用寿命
D.了解长江的水质情况
答案：1. B
2. 如果分式方程$\frac{x}{x - 4}=2+\frac{a}{4 - x}$无解,那么$a$的值为(
A.$-4$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$-2$
A
)A.$-4$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$-2$
答案：2. A
解析：
解：方程两边同乘$x - 4$，得$x = 2(x - 4) - a$。
去括号，得$x = 2x - 8 - a$。
移项、合并同类项，得$-x = -8 - a$，即$x = 8 + a$。
因为分式方程无解，所以$x - 4 = 0$，即$x = 4$。
将$x = 4$代入$x = 8 + a$，得$4 = 8 + a$，解得$a = -4$。
A
去括号，得$x = 2x - 8 - a$。
移项、合并同类项，得$-x = -8 - a$，即$x = 8 + a$。
因为分式方程无解，所以$x - 4 = 0$，即$x = 4$。
将$x = 4$代入$x = 8 + a$，得$4 = 8 + a$，解得$a = -4$。
A
3. (2025 春·宿豫区期末)今年植树节,某社区集中移栽了一批香樟树.该社区调查了这批香樟树移栽成活情况,得到如图所示的统计图,由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为(
A.$0.85$
B.$0.90$
C.$0.95$
D.$0.98$
B
)A.$0.85$
B.$0.90$
C.$0.95$
D.$0.98$
答案：3. B
解析：
观察统计图可知，随着移植数量的增加，成活的频率逐渐稳定在0.90附近，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为0.90。
B
B
4. 如图,在直角梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$AB⊥ BC$,$AD = 2$,$BC = DC = 5$,点$P$在$BC$上移动,则当$PA + PD$取最小值时,$△ APD$中边$AP$上的高为(
A.$\frac{2}{17}\sqrt{17}$
B.$\frac{4}{17}\sqrt{17}$
C.$\frac{8}{17}\sqrt{17}$
D.$3$
C
)A.$\frac{2}{17}\sqrt{17}$
B.$\frac{4}{17}\sqrt{17}$
C.$\frac{8}{17}\sqrt{17}$
D.$3$
答案：4. C
解析：
解：作点A关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，此时PA+PD最小。
过D作DE⊥BC于E，
∵AD//BC，AB⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，BE=AD=2，DE=AB。
EC=BC-BE=5-2=3，在Rt△DEC中，DE=√(DC²-EC²)=√(5²-3²)=4，
∴AB=DE=4，A'B=AB=4。
A'(0,-4)，D(2,4)，直线A'D的解析式为y=4x-4。
令y=0，得x=1，
∴P(1,0)。
AP=√[(1-0)²+(0-4)²]=√17，S△APD=S梯形ABED-S△ABP-S△PDE= (2+5)×4/2 - 1×4/2 - (5-1)×4/2=14-2-8=4。
设AP上的高为h，(1/2)×√17×h=4，h=8√17/17。
答案：C
过D作DE⊥BC于E，
∵AD//BC，AB⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，BE=AD=2，DE=AB。
EC=BC-BE=5-2=3，在Rt△DEC中，DE=√(DC²-EC²)=√(5²-3²)=4，
∴AB=DE=4，A'B=AB=4。
A'(0,-4)，D(2,4)，直线A'D的解析式为y=4x-4。
令y=0，得x=1，
∴P(1,0)。
AP=√[(1-0)²+(0-4)²]=√17，S△APD=S梯形ABED-S△ABP-S△PDE= (2+5)×4/2 - 1×4/2 - (5-1)×4/2=14-2-8=4。
设AP上的高为h，(1/2)×√17×h=4，h=8√17/17。
答案：C
5. 如图,在边长为$4\sqrt{2}$的正方形$ABCD$中,$E,F$分别是边$AB,BC$的中点,连接$EC,FD$,$G,H$分别是$EC,FD$的中点,连接$GH$,则$GH$的长为(
A.$2.4$
B.$2.5$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
D
)A.$2.4$
B.$2.5$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案：5. D
解析：
解：以点$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
正方形$ABCD$边长为$4\sqrt{2}$，则各点坐标为：$B(0,0)$，$C(4\sqrt{2},0)$，$A(0,4\sqrt{2})$，$D(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$。
$E$是$AB$中点，$F$是$BC$中点，$\therefore E(0,2\sqrt{2})$，$F(2\sqrt{2},0)$。
直线$EC$：过$E(0,2\sqrt{2})$，$C(4\sqrt{2},0)$，设其方程为$y=kx+b$，代入得$\begin{cases}b=2\sqrt{2}\\4\sqrt{2}k + b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=2\sqrt{2}$，$\therefore y=-\frac{1}{2}x + 2\sqrt{2}$。
$G$是$EC$中点，$E(0,2\sqrt{2})$，$C(4\sqrt{2},0)$，$\therefore G(\frac{0 + 4\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2} + 0}{2})=(2\sqrt{2},\sqrt{2})$。
直线$FD$：过$F(2\sqrt{2},0)$，$D(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，斜率$k=\frac{4\sqrt{2}-0}{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=2$，方程为$y - 0=2(x - 2\sqrt{2})$，即$y=2x - 4\sqrt{2}$。
$H$是$FD$中点，$F(2\sqrt{2},0)$，$D(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，$\therefore H(\frac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2},\frac{0 + 4\sqrt{2}}{2})=(3\sqrt{2},2\sqrt{2})$。
$GH$的距离：$\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 2}=\sqrt{4}=2$。
答案：D
正方形$ABCD$边长为$4\sqrt{2}$，则各点坐标为：$B(0,0)$，$C(4\sqrt{2},0)$，$A(0,4\sqrt{2})$，$D(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$。
$E$是$AB$中点，$F$是$BC$中点，$\therefore E(0,2\sqrt{2})$，$F(2\sqrt{2},0)$。
直线$EC$：过$E(0,2\sqrt{2})$，$C(4\sqrt{2},0)$，设其方程为$y=kx+b$，代入得$\begin{cases}b=2\sqrt{2}\\4\sqrt{2}k + b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=2\sqrt{2}$，$\therefore y=-\frac{1}{2}x + 2\sqrt{2}$。
$G$是$EC$中点，$E(0,2\sqrt{2})$，$C(4\sqrt{2},0)$，$\therefore G(\frac{0 + 4\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2} + 0}{2})=(2\sqrt{2},\sqrt{2})$。
直线$FD$：过$F(2\sqrt{2},0)$，$D(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，斜率$k=\frac{4\sqrt{2}-0}{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}=2$，方程为$y - 0=2(x - 2\sqrt{2})$，即$y=2x - 4\sqrt{2}$。
$H$是$FD$中点，$F(2\sqrt{2},0)$，$D(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，$\therefore H(\frac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2},\frac{0 + 4\sqrt{2}}{2})=(3\sqrt{2},2\sqrt{2})$。
$GH$的距离：$\sqrt{(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 2}=\sqrt{4}=2$。
答案：D
6. 把$50$个数据分成五组,第一、二、三、四、五组的数据个数分别是$8,15,x,12,5$,则第三组的频率为
0.2
.答案：6. 0.2
解析：
8+15+x+12+5=50，解得x=10，10÷50=0.2
7. (2025·常州新北区期末)因式分解:$x^{4}+4y^{4}=$
(x²+2y²+2xy)(x²+2y²−2xy)
.答案：7. (x²+2y²+2xy)(x²+2y²−2xy)
解析：
$(x^{2}+2y^{2}+2xy)(x^{2}+2y^{2}-2xy)$
8. 计算:$\sqrt{6}×\sqrt{3}-\sqrt{8}=$
$\sqrt{2}$
.答案：8. $\sqrt{2}$
解析：
$\sqrt{6} × \sqrt{3} - \sqrt{8} = \sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$
9. 如图,在$□ ABCD$中,$AD = 3$,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$AC + BD = 10$,则$△ BOC$的周长为
8
.答案：9. 8
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC = 3$，$OA = OC$，$OB = OD$。
∵$AC + BD = 10$，
∴$OC + OB=\frac{1}{2}(AC + BD)=\frac{1}{2}×10 = 5$。
∴$△ BOC$的周长为$OB + OC + BC=5 + 3=8$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD = BC = 3$，$OA = OC$，$OB = OD$。
∵$AC + BD = 10$，
∴$OC + OB=\frac{1}{2}(AC + BD)=\frac{1}{2}×10 = 5$。
∴$△ BOC$的周长为$OB + OC + BC=5 + 3=8$。
10. 已知$a^{2}+2a - 2 = 0$,则代数式$(a-\frac{2}{a - 1})÷\frac{a^{2}-4a + 4}{a^{2}-a}$的值为
-1
.答案：10. -1
解析：
$\begin{aligned}&(a - \frac{2}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - a}\\=&(\frac{a(a - 1) - 2}{a - 1}) ÷ \frac{(a - 2)^2}{a(a - 1)}\\=&\frac{a^2 - a - 2}{a - 1} × \frac{a(a - 1)}{(a - 2)^2}\\=&\frac{(a - 2)(a + 1)}{a - 1} × \frac{a(a - 1)}{(a - 2)^2}\\=&\frac{a(a + 1)}{a - 2}\\\end{aligned}$
由$a^2 + 2a - 2 = 0$得$a^2 = -2a + 2$，代入上式：
$\begin{aligned}\frac{a(a + 1)}{a - 2}&=\frac{a^2 + a}{a - 2}\\&=\frac{-2a + 2 + a}{a - 2}\\&=\frac{-a + 2}{a - 2}\\&=-\frac{a - 2}{a - 2}\\&=-1\end{aligned}$
-1
由$a^2 + 2a - 2 = 0$得$a^2 = -2a + 2$，代入上式：
$\begin{aligned}\frac{a(a + 1)}{a - 2}&=\frac{a^2 + a}{a - 2}\\&=\frac{-2a + 2 + a}{a - 2}\\&=\frac{-a + 2}{a - 2}\\&=-\frac{a - 2}{a - 2}\\&=-1\end{aligned}$
-1