11. (10 分)计算:
(1)$\vert - 3\vert - 2026^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}+\sqrt[3]{-8}$;
(2)$(1-\frac{1}{x^{2}})÷\frac{x - 1}{x}$.
(1)$\vert - 3\vert - 2026^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}+\sqrt[3]{-8}$;
(2)$(1-\frac{1}{x^{2}})÷\frac{x - 1}{x}$.
答案：11. 解：(1) 原式 =3 - 1 + 2 - 2 = 2
(2) 原式 =$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}} · \frac{x}{x - 1}=\frac{x + 1}{x}$
(2) 原式 =$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}} · \frac{x}{x - 1}=\frac{x + 1}{x}$
12. (10 分)解方程:
(1)$\frac{10}{2x - 1}+\frac{5}{1 - 2x}=2$;
(2)$\frac{16}{x^{2}-4}-\frac{x + 2}{x - 2}+1 = 0$.
(1)$\frac{10}{2x - 1}+\frac{5}{1 - 2x}=2$;
(2)$\frac{16}{x^{2}-4}-\frac{x + 2}{x - 2}+1 = 0$.
答案：12. 解：(1) 方程两边同乘 2x - 1，得 10 - 5 = 4x - 2，
解这个方程，得 x =$\frac{7}{4}$
检验：当 x =$\frac{7}{4}$ 时，2x - 1 ≠ 0，
∴原方程的解是 x =$\frac{7}{4}$
(2) 方程两边同乘 (x + 2)(x - 2)，
得 16 - (x + 2)² + x² - 4 = 0，
解这个方程，得 x = 2
检验：当 x = 2 时，x² - 4 = 0，x = 2 是增根
∴原方程无解
解这个方程，得 x =$\frac{7}{4}$
检验：当 x =$\frac{7}{4}$ 时，2x - 1 ≠ 0，
∴原方程的解是 x =$\frac{7}{4}$
(2) 方程两边同乘 (x + 2)(x - 2)，
得 16 - (x + 2)² + x² - 4 = 0，
解这个方程，得 x = 2
检验：当 x = 2 时，x² - 4 = 0，x = 2 是增根
∴原方程无解
13. (15 分)如图,在四边形$ABCD$中,$DC// AB$,连接$BD$.
(1)尺规作图:作$BD$的垂直平分线交$AB$于点$E$,交$CD$于点$F$,交$BD$于点$O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接$DE,BF$,求证:四边形$DEBF$是菱形.
(1)尺规作图:作$BD$的垂直平分线交$AB$于点$E$,交$CD$于点$F$,交$BD$于点$O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接$DE,BF$,求证:四边形$DEBF$是菱形.
答案：
13. (1) 解：如答图，EF 即为所求
(2) 证明：
∵ DC // AB，
∴ ∠ABD = ∠BDC
又
∵ EF 垂直平分 BD，
∴ OD = OB
又
∵ ∠DOF = ∠BOE，
∴ △DOF ≌ △BOE(ASA)，
∴ DF = BE
∵ CD // AB，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形
又
∵ EF ⊥ BD，
∴ 平行四边形 DEBF 是菱形
13. (1) 解：如答图，EF 即为所求
(2) 证明：
∵ DC // AB，
∴ ∠ABD = ∠BDC
又
∵ EF 垂直平分 BD，
∴ OD = OB
又
∵ ∠DOF = ∠BOE，
∴ △DOF ≌ △BOE(ASA)，
∴ DF = BE
∵ CD // AB，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形
又
∵ EF ⊥ BD，
∴ 平行四边形 DEBF 是菱形
14. (15 分)如图,在$□ ABCD$中,$E,F$是对角线$BD$上的点,且$BE = DF$.连接$AF,CE$,$G,H$分别是$AF,CE$的中点,连接$EG,FH$.
(1)求证:四边形$EHFG$是平行四边形;
(2)若四边形$EHFG$是正方形,$∠ ABD = 30^{\circ}$,求$\frac{BD}{AB}$的值.
(1)求证:四边形$EHFG$是平行四边形;
(2)若四边形$EHFG$是正方形,$∠ ABD = 30^{\circ}$,求$\frac{BD}{AB}$的值.
答案：
14. (1) 证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC，
∴ ∠EBC = ∠FDA
在 △CBE 和 △ADF 中，$\begin{cases}BC = DA\\∠ EBC = ∠ FDA\\BE = DF\end{cases}$
∴ △CBE ≌ △ADF(SAS)，
∴ AF = EC，∠AFD = ∠CEB，
∴ ∠AFE = ∠CEF，
∴ AF // EC
∵ G，H 分别是 AF，CE 的中点，
∴ EH = GF，
∴ 四边形 EHFG 是平行四边形
(2) 解：如答图，连接 AE，CF
∵ 四边形 EHFG 是正方形，
∴ ∠GEF = 45°，FG = AG = GE，
∴ ∠AEG = 45°，
∴ ∠AEF = 90°
设 AE = x，则 EF = x
∵ ∠ABD = 30°，
∴ AB = 2x，BE = $\sqrt{3}x$，
同理 DF = $\sqrt{3}x$，
∴ BD = 2$\sqrt{3}x + x$，
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{2\sqrt{3}x + x}{2x}=\frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$
14. (1) 证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC，
∴ ∠EBC = ∠FDA
在 △CBE 和 △ADF 中，$\begin{cases}BC = DA\\∠ EBC = ∠ FDA\\BE = DF\end{cases}$
∴ △CBE ≌ △ADF(SAS)，
∴ AF = EC，∠AFD = ∠CEB，
∴ ∠AFE = ∠CEF，
∴ AF // EC
∵ G，H 分别是 AF，CE 的中点，
∴ EH = GF，
∴ 四边形 EHFG 是平行四边形
(2) 解：如答图，连接 AE，CF
∵ 四边形 EHFG 是正方形，
∴ ∠GEF = 45°，FG = AG = GE，
∴ ∠AEG = 45°，
∴ ∠AEF = 90°
设 AE = x，则 EF = x
∵ ∠ABD = 30°，
∴ AB = 2x，BE = $\sqrt{3}x$，
同理 DF = $\sqrt{3}x$，
∴ BD = 2$\sqrt{3}x + x$，
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{2\sqrt{3}x + x}{2x}=\frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$