1. 等腰梯形 $ABCD$ 中,$E,F,G,H$ 分别是各边的中点,则四边形 $EFGH$ 的形状是(
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
C
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案：1. C
解析：
连接AC、BD。
∵E、F、G、H分别是等腰梯形ABCD各边中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线。
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，EF//AC；GH=$\frac{1}{2}$AC，GH//AC；EH=$\frac{1}{2}$BD，EH//BD；FG=$\frac{1}{2}$BD，FG//BD。
∴EF=GH，EF//GH；EH=FG，EH//FG。
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵等腰梯形ABCD中，AC=BD，
∴EF=EH。
∴平行四边形EFGH是菱形。
C
∵E、F、G、H分别是等腰梯形ABCD各边中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线。
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，EF//AC；GH=$\frac{1}{2}$AC，GH//AC；EH=$\frac{1}{2}$BD，EH//BD；FG=$\frac{1}{2}$BD，FG//BD。
∴EF=GH，EF//GH；EH=FG，EH//FG。
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵等腰梯形ABCD中，AC=BD，
∴EF=EH。
∴平行四边形EFGH是菱形。
C
2. 把多项式 $ax^{2}-ax - 2a$ 分解因式,下列结果正确的是(
A.$a(x - 2)(x + 1)$
B.$a(x + 2)(x - 1)$
C.$a(x - 1)^{2}$
D.$(ax - 2)(ax + 1)$
A
)A.$a(x - 2)(x + 1)$
B.$a(x + 2)(x - 1)$
C.$a(x - 1)^{2}$
D.$(ax - 2)(ax + 1)$
答案：2. A
解析：
$ax^{2}-ax - 2a$
$=a(x^{2}-x - 2)$
$=a(x - 2)(x + 1)$
A
$=a(x^{2}-x - 2)$
$=a(x - 2)(x + 1)$
A
3. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{3 - x}+\frac{ax}{x - 3}=2$ 无解,则 $a$ 的值是(
A.3 或 2
B.1
C.1 或 3
D.1 或 2
D
)A.3 或 2
B.1
C.1 或 3
D.1 或 2
答案：3. D
解析：
方程两边同乘$(x - 3)$，得$-3 + ax = 2(x - 3)$，整理得$(a - 2)x = -3$。
情况一：当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，方程$(a - 2)x = -3$无解，原分式方程无解。
情况二：当$a - 2 ≠ 0$时，$x = \frac{-3}{a - 2}$。若原分式方程无解，则$x = 3$是增根，即$\frac{-3}{a - 2} = 3$，解得$a = 1$。
综上，$a$的值为1或2。
D
情况一：当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，方程$(a - 2)x = -3$无解，原分式方程无解。
情况二：当$a - 2 ≠ 0$时，$x = \frac{-3}{a - 2}$。若原分式方程无解，则$x = 3$是增根，即$\frac{-3}{a - 2} = 3$，解得$a = 1$。
综上，$a$的值为1或2。
D
4. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$∠ A = 45^{\circ}$,分别以点 $A$ 和 $B$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $M$ 和 $N$,作直线 $MN$,交 $AD$ 于点 $E$,连接 $CE$. 若 $AB = 2$,则 $CE$ 的长为(
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{3}+1$
D.$2\sqrt{2}$
A
)A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{3}+1$
D.$2\sqrt{2}$
答案：4. A
5. 如图,正方形 $ABCD$ 与正三角形 $AEF$ 的顶点 $A$ 重合,将 $△ AEF$ 绕顶点 $A$ 旋转一周,在旋转过程中,当 $BE = DF$ 时,$∠ BAE$ 的度数为(
A.$15^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
B.$15^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$
C.$30^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$
D.$40^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$
B
)A.$15^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
B.$15^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$
C.$30^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$
D.$40^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$
答案：
5. B 点拨:如答图,由正方形及正三角形的性质,可知
$AB=AD,AE=AF,∠BAD=90^{\circ },∠EAF=60^{\circ },$
又$\because BE=DF,\therefore △ ABE≌ △ ADF(SSS).$
$\therefore ∠BAE=∠DAF=\frac {1}{2}(90^{\circ }-60^{\circ })=15^{\circ }.$
将$△ AEF$绕点A旋转$180^{\circ }$后,也符合题意,
此时$∠BAE'=180^{\circ }-15^{\circ }=165^{\circ }.$
5. B 点拨:如答图,由正方形及正三角形的性质,可知
$AB=AD,AE=AF,∠BAD=90^{\circ },∠EAF=60^{\circ },$
又$\because BE=DF,\therefore △ ABE≌ △ ADF(SSS).$
$\therefore ∠BAE=∠DAF=\frac {1}{2}(90^{\circ }-60^{\circ })=15^{\circ }.$
将$△ AEF$绕点A旋转$180^{\circ }$后,也符合题意,
此时$∠BAE'=180^{\circ }-15^{\circ }=165^{\circ }.$
6. 计算:$\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{3}}-2\sqrt{\frac{1}{2}}=$
$\sqrt {2}+\frac {1}{3}\sqrt {3}$
.答案：6. $\sqrt {2}+\frac {1}{3}\sqrt {3}$
解析：
$\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{3}}-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}+\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}$
$=\sqrt{2}+\frac{1}{3}\sqrt{3}$
7. 河上游的码头甲与下游的码头乙相距 $s$ km,轮船在静水中的速度为 $a$ km/h,水流的速度为 $b$ km/h,则轮船从甲到乙往返一次航行所需时间为
$(\frac {S}{a+b}+\frac {S}{a-b})h$
.答案：7. $(\frac {S}{a+b}+\frac {S}{a-b})h$
解析：
$( \dfrac{s}{a+b} + \dfrac{s}{a-b} ) \mathrm{h}$
8. 在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 $n$ 个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同. 若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是 $\frac{4}{5}$,则 $n$ 的值为
8
.答案：8. 8
解析：
由题意得，布袋中球的总数为$n + 2$，摸到黄球的概率为$\frac{n}{n + 2}$。
因为摸到黄球的概率是$\frac{4}{5}$，所以$\frac{n}{n + 2} = \frac{4}{5}$。
交叉相乘得：$5n = 4(n + 2)$
去括号：$5n = 4n + 8$
移项：$5n - 4n = 8$
解得：$n = 8$
8
因为摸到黄球的概率是$\frac{4}{5}$，所以$\frac{n}{n + 2} = \frac{4}{5}$。
交叉相乘得：$5n = 4(n + 2)$
去括号：$5n = 4n + 8$
移项：$5n - 4n = 8$
解得：$n = 8$
8
9. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,已知 $AB$ 与 $CD$ 不平行,$∠ ABD=∠ ACD$,请你添加一个条件:
$∠BAD=∠CDA$(答案不唯一)
,使得加上这个条件后能够推出 $AD// BC$ 且 $AB = CD$.答案：9. $∠BAD=∠CDA$(答案不唯一)