10. (10 分)计算:
(1)$\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{(-5)^{2}}$;
(2)$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^{2}-(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})$.
(1)$\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{(-5)^{2}}$;
(2)$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^{2}-(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})$.
答案：10. 解:(1)原式$=2\sqrt {2}-\sqrt {2}+5=\sqrt {2}+5.$
(2)原式$=3-6\sqrt {2}+6-(4-5)=10-6\sqrt {2}.$
(2)原式$=3-6\sqrt {2}+6-(4-5)=10-6\sqrt {2}.$
11. (10 分)如图,在 $□ ABCD$ 中,$AE⊥ AB$,$CF⊥ CD$,分别交 $BD$ 于点 $E,F$. 求证:四边形 $AECF$ 是平行四边形.
答案：11. 证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB// CD,AB=CD.$
$\therefore ∠ABE=∠CDF.$
$\because AE⊥AB,CF⊥CD,\therefore ∠BAE=∠DCF=90^{\circ }.$
$\therefore △ ABE≌ △ CDF(ASA).$
$\therefore AE=CF,∠AEB=∠CFD.\therefore AE// CF.$
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB// CD,AB=CD.$
$\therefore ∠ABE=∠CDF.$
$\because AE⊥AB,CF⊥CD,\therefore ∠BAE=∠DCF=90^{\circ }.$
$\therefore △ ABE≌ △ CDF(ASA).$
$\therefore AE=CF,∠AEB=∠CFD.\therefore AE// CF.$
$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形.
12. (15 分)某蔬菜批发市场搭配了 $A,B$ 两种蔬菜生鲜套餐以供选择(套餐不可拆零售卖). 已知$A,B$ 两种套餐的售价之比为 $4:3$,顾客花 512 元购进 $A$ 套餐的数量比花 144 元购进 $B$ 套餐的数量多 5 份.
(1)求 $A,B$ 套餐每份的售价各是多少元;
(2)已知 $A,B$ 两种套餐的成本分别为 50 元和 31 元,根据实际情况,该蔬菜批发市场一次可以搭配两种套餐共 500 份. 为了更好地服务居民,预计销售完这 500 份套餐后获利不高于 7800 元,则如何搭配 $A,B$ 套餐,才能使顾客购买这 500 份套餐的总金额最低?
(1)求 $A,B$ 套餐每份的售价各是多少元;
(2)已知 $A,B$ 两种套餐的成本分别为 50 元和 31 元,根据实际情况,该蔬菜批发市场一次可以搭配两种套餐共 500 份. 为了更好地服务居民,预计销售完这 500 份套餐后获利不高于 7800 元,则如何搭配 $A,B$ 套餐,才能使顾客购买这 500 份套餐的总金额最低?
答案：12. 解:(1)设 A 套餐每份的售价为 4x 元,则 B 套餐每份的售价为 3x 元.
根据题意,得$\frac {512}{4x}-\frac {144}{3x}=5$,解得$x=16.$
经检验,$x=16$是所列方程的解.
则$4x=4×16=64,3x=3×16=48.$
答:A 套餐每份的售价为 64 元,B 套餐每份的售价为48 元.
(2)设 A 套餐有 m 份,则 B 套餐有$(500-m)$份，
根据题意,得$(64-50)m+(48-31)(500-m)≤7800,$
解得$m≥\frac {700}{3}.$
$\because m$为整数,$\therefore m$的最小值为 234.
设顾客购买这 500 份套餐的总金额为 w 元,
由题意得$w=64m+48×(500-m)=16m+24000.$
$\because 16＞0,\therefore w$随 m 的增大而增大.
$\therefore$ 当$m=234$时,w 的值最小,
此时,$500-m=500-234=266.$
答:蔬菜批发市场搭配 A 套餐 234 份,B 套餐 266 份,才能使顾客购买这 500 份套餐的总金额最低.
根据题意,得$\frac {512}{4x}-\frac {144}{3x}=5$,解得$x=16.$
经检验,$x=16$是所列方程的解.
则$4x=4×16=64,3x=3×16=48.$
答:A 套餐每份的售价为 64 元,B 套餐每份的售价为48 元.
(2)设 A 套餐有 m 份,则 B 套餐有$(500-m)$份，
根据题意,得$(64-50)m+(48-31)(500-m)≤7800,$
解得$m≥\frac {700}{3}.$
$\because m$为整数,$\therefore m$的最小值为 234.
设顾客购买这 500 份套餐的总金额为 w 元,
由题意得$w=64m+48×(500-m)=16m+24000.$
$\because 16＞0,\therefore w$随 m 的增大而增大.
$\therefore$ 当$m=234$时,w 的值最小,
此时,$500-m=500-234=266.$
答:蔬菜批发市场搭配 A 套餐 234 份,B 套餐 266 份,才能使顾客购买这 500 份套餐的总金额最低.
13. (20 分)已知正方形 $ABCD$ 的边长为 3,$P$ 是 $BC$ 边上的一个动点.
(1)如图①,若点 $B$ 关于直线 $AP$ 的对称点为 $E$,连接 $AP$,连接 $PE$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$,连接 $AE,AF$,求 $∠ PAF$ 的度数;
(2)如图②,在点 $P$ 运动过程中,作 $∠ FPC$ 的平分线 $PG$ 交 $AF$ 延长线于点 $G$,交 $CD$ 于点 $H$,若 $S_{△ AFP}:S_{△ RGP}=4:1$,请求出线段 $BP$ 的长.
(1)如图①,若点 $B$ 关于直线 $AP$ 的对称点为 $E$,连接 $AP$,连接 $PE$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$,连接 $AE,AF$,求 $∠ PAF$ 的度数;
(2)如图②,在点 $P$ 运动过程中,作 $∠ FPC$ 的平分线 $PG$ 交 $AF$ 延长线于点 $G$,交 $CD$ 于点 $H$,若 $S_{△ AFP}:S_{△ RGP}=4:1$,请求出线段 $BP$ 的长.
答案：
13. 解:(1)$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90^{\circ }.$
$\because$ 点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,
$\therefore AB=AE,∠B=∠AEP=90^{\circ },∠BAP=∠PAE,$
$\therefore ∠AEF=∠D=90^{\circ },AE=AD.$
在$Rt△ EAF$和$Rt△ DAF$中,$\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ AF=AF,\end{array} $
$\therefore Rt△ EAF≌ Rt△ DAF(HL),\therefore ∠DAF=∠EAF,$
$\therefore ∠PAF=∠PAE+∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD=45^{\circ }.$
(2)如答图,过点 G 作$GM⊥EF$,交 EF 的延长线于点M,$GN⊥BC$,交 BC 的延长线于点 N.
$\because$ 点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,
$\therefore AB=AE,∠APB=∠APE.$
$\because PG$平分$∠FPC,\therefore ∠CPG=∠FPG,$
$\therefore ∠APG=\frac {1}{2}∠BPC=90^{\circ }.$
$\because ∠PAG=45^{\circ },\therefore ∠PAG=∠AGP,\therefore AP=PG.$
$\because ∠APB+∠GPN=90^{\circ },∠BAP+∠APB=90^{\circ },$
$\therefore ∠BAP=∠GPN.$
$\because ∠ABP=∠PNG=90^{\circ },$
$\therefore △ ABP≌ △ PNG(AAS),\therefore BP=GN.$
$\because PG$平分$∠CPF,GM⊥EF,GN⊥BC,$
$\therefore MG=GN.$
$\because S_{△ APF}=\frac {1}{2}PF· AE,S_{△ PFG}=\frac {1}{2}PF· GM,$
$\therefore \frac {S_{△ APF}}{S_{△ PFG}}=\frac {AE}{GM}=\frac {4}{1}=4,\therefore \frac {AB}{BP}=4.$
$\because AB=3,\therefore BP=\frac {3}{4}.$
13. 解:(1)$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90^{\circ }.$
$\because$ 点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,
$\therefore AB=AE,∠B=∠AEP=90^{\circ },∠BAP=∠PAE,$
$\therefore ∠AEF=∠D=90^{\circ },AE=AD.$
在$Rt△ EAF$和$Rt△ DAF$中,$\{\begin{array}{l} AE=AD,\\ AF=AF,\end{array} $
$\therefore Rt△ EAF≌ Rt△ DAF(HL),\therefore ∠DAF=∠EAF,$
$\therefore ∠PAF=∠PAE+∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD=45^{\circ }.$
(2)如答图,过点 G 作$GM⊥EF$,交 EF 的延长线于点M,$GN⊥BC$,交 BC 的延长线于点 N.
$\because$ 点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,
$\therefore AB=AE,∠APB=∠APE.$
$\because PG$平分$∠FPC,\therefore ∠CPG=∠FPG,$
$\therefore ∠APG=\frac {1}{2}∠BPC=90^{\circ }.$
$\because ∠PAG=45^{\circ },\therefore ∠PAG=∠AGP,\therefore AP=PG.$
$\because ∠APB+∠GPN=90^{\circ },∠BAP+∠APB=90^{\circ },$
$\therefore ∠BAP=∠GPN.$
$\because ∠ABP=∠PNG=90^{\circ },$
$\therefore △ ABP≌ △ PNG(AAS),\therefore BP=GN.$
$\because PG$平分$∠CPF,GM⊥EF,GN⊥BC,$
$\therefore MG=GN.$
$\because S_{△ APF}=\frac {1}{2}PF· AE,S_{△ PFG}=\frac {1}{2}PF· GM,$
$\therefore \frac {S_{△ APF}}{S_{△ PFG}}=\frac {AE}{GM}=\frac {4}{1}=4,\therefore \frac {AB}{BP}=4.$
$\because AB=3,\therefore BP=\frac {3}{4}.$