7. 若关于$x$的分式方程$\frac{kx}{x-1}-\frac{2k-1}{1-x}=2$无解,则$k$的值为(
A.$-\frac{1}{3}$
B.1
C.$\frac{1}{3}$或2
D.0
C
)A.$-\frac{1}{3}$
B.1
C.$\frac{1}{3}$或2
D.0
答案：7. C
解析：
去分母得：$kx + 2k - 1 = 2(x - 1)$，整理得：$(k - 2)x = -2k - 1$。
情况一：当$k - 2 = 0$，即$k = 2$时，方程左边为$0$，右边为$-5$，无解。
情况二：当$k - 2 ≠ 0$时，$x = \frac{-2k - 1}{k - 2}$。若原方程无解，则$x = 1$是增根，代入得：$\frac{-2k - 1}{k - 2} = 1$，解得$k = \frac{1}{3}$。
综上，$k = \frac{1}{3}$或$2$。
C
情况一：当$k - 2 = 0$，即$k = 2$时，方程左边为$0$，右边为$-5$，无解。
情况二：当$k - 2 ≠ 0$时，$x = \frac{-2k - 1}{k - 2}$。若原方程无解，则$x = 1$是增根，代入得：$\frac{-2k - 1}{k - 2} = 1$，解得$k = \frac{1}{3}$。
综上，$k = \frac{1}{3}$或$2$。
C
8. 如图,在边长为4的正方形$ABCD$中,点$E$,$F$分别是$AB$,$BC$上的点,连接$DE$,$DF$,$EF$,满足$∠ EDF=45^{\circ}$.若$AE=1$,则$EF$的长为(
A.$3\sqrt{2}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\frac{17}{5}$
D.$\frac{8}{5}\sqrt{2}$
C
)A.$3\sqrt{2}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\frac{17}{5}$
D.$\frac{8}{5}\sqrt{2}$
答案：8. C
解析：
解：延长BC至点G，使CG=AE=1，连接DG。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠DCG=90°。
在△DAE和△DCG中，
$\begin{cases}AD=CD \\∠A=∠DCG \\AE=CG\end{cases}$
∴△DAE≌△DCG(SAS)，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG。
∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠CDG+∠CDF=45°，即∠GDF=45°。
在△EDF和△GDF中，
$\begin{cases}DE=DG \\∠EDF=∠GDF \\DF=DF\end{cases}$
∴△EDF≌△GDF(SAS)，
∴EF=GF。
设BF=x，则FC=4-x，GF=FC+CG=4-x+1=5-x，EF=5-x。
∵AE=1，AB=4，
∴BE=AB-AE=3。
在Rt△EBF中，BE=3，BF=x，EF=5-x，
由勾股定理得：$BE^2 + BF^2 = EF^2$，
即$3^2 + x^2 = (5 - x)^2$，
解得$x = \frac{8}{5}$。
∴EF=5 - x = 5 - $\frac{8}{5}$ = $\frac{17}{5}$。
答案：$\frac{17}{5}$
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠DCG=90°。
在△DAE和△DCG中，
$\begin{cases}AD=CD \\∠A=∠DCG \\AE=CG\end{cases}$
∴△DAE≌△DCG(SAS)，
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG。
∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∴∠CDG+∠CDF=45°，即∠GDF=45°。
在△EDF和△GDF中，
$\begin{cases}DE=DG \\∠EDF=∠GDF \\DF=DF\end{cases}$
∴△EDF≌△GDF(SAS)，
∴EF=GF。
设BF=x，则FC=4-x，GF=FC+CG=4-x+1=5-x，EF=5-x。
∵AE=1，AB=4，
∴BE=AB-AE=3。
在Rt△EBF中，BE=3，BF=x，EF=5-x，
由勾股定理得：$BE^2 + BF^2 = EF^2$，
即$3^2 + x^2 = (5 - x)^2$，
解得$x = \frac{8}{5}$。
∴EF=5 - x = 5 - $\frac{8}{5}$ = $\frac{17}{5}$。
答案：$\frac{17}{5}$
9. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现,摸到红色球的频率稳定在15％左右,则口袋中红色球可能有
6
个.答案：9. 6
10. 分式$\frac{1}{3abc}$,$\frac{1}{4ab^{2}}$,$\frac{1}{6a^{2}b}$的最简公分母是
$ 12a^{2}b^{2}c $
.答案：10. $ 12a^{2}b^{2}c $
11. 在根式$\sqrt{4}$,$\sqrt{8}$,$\sqrt{27}$中,与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是
$ \sqrt{8} $
.答案：11. $ \sqrt{8} $
12. 规定用$[x]$表示一个实数$x$的整数部分,例如,$[3.69]=3$,$[\sqrt{3}]=1$.按此规定,$[\sqrt{13}-1]=$
2
.答案：12. 2
解析：
因为$9 ＜ 13 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$。
两边同时减$1$，得$3 - 1 ＜ \sqrt{13} - 1 ＜ 4 - 1$，即$2 ＜ \sqrt{13} - 1 ＜ 3$。
所以$[\sqrt{13} - 1] = 2$。
2
两边同时减$1$，得$3 - 1 ＜ \sqrt{13} - 1 ＜ 4 - 1$，即$2 ＜ \sqrt{13} - 1 ＜ 3$。
所以$[\sqrt{13} - 1] = 2$。
2
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=40^{\circ}$,将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转,使点$C$的对应点$C'$落在边$BC$上,连接$BB'$.若$AB⊥ B'C'$,则$∠ ABB'$的度数是
$ 65^{\circ} $
.答案：13. $ 65^{\circ} $
解析：
解：设$∠ BAC = α$，$∠ ACB = \gamma$，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 40^{\circ}$，则$α + \gamma = 140^{\circ}$。
由旋转性质得：$AC' = AC$，$AB' = AB$，$∠ B'AC' = α$，$∠ AC'B' = \gamma$。
$△ ACC'$中，$AC' = AC$，$∠ ACC' = \gamma$，$∠ AC'C = \gamma$，$∠ CAC' = 180^{\circ} - 2\gamma$。
$∠ BAC' = ∠ BAC - ∠ CAC' = α - (180^{\circ} - 2\gamma) = (α + 2\gamma) - 180^{\circ}$，又$α = 140^{\circ} - \gamma$，故$∠ BAC' = 140^{\circ} - \gamma + 2\gamma - 180^{\circ} = \gamma - 40^{\circ}$。
$AB ⊥ B'C'$，$∠ AOC' = 90^{\circ}$，$△ AOC'$中，$∠ BAC' + ∠ AC'B' = 90^{\circ}$，即$(\gamma - 40^{\circ}) + \gamma = 90^{\circ}$，解得$\gamma = 65^{\circ}$，$α = 140^{\circ} - 65^{\circ} = 75^{\circ}$。
$∠ BAB' = ∠ CAC' = 180^{\circ} - 2\gamma = 50^{\circ}$，$△ ABB'$中，$AB' = AB$，$∠ ABB' = \frac{180^{\circ} - 50^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$。
$65^{\circ}$
由旋转性质得：$AC' = AC$，$AB' = AB$，$∠ B'AC' = α$，$∠ AC'B' = \gamma$。
$△ ACC'$中，$AC' = AC$，$∠ ACC' = \gamma$，$∠ AC'C = \gamma$，$∠ CAC' = 180^{\circ} - 2\gamma$。
$∠ BAC' = ∠ BAC - ∠ CAC' = α - (180^{\circ} - 2\gamma) = (α + 2\gamma) - 180^{\circ}$，又$α = 140^{\circ} - \gamma$，故$∠ BAC' = 140^{\circ} - \gamma + 2\gamma - 180^{\circ} = \gamma - 40^{\circ}$。
$AB ⊥ B'C'$，$∠ AOC' = 90^{\circ}$，$△ AOC'$中，$∠ BAC' + ∠ AC'B' = 90^{\circ}$，即$(\gamma - 40^{\circ}) + \gamma = 90^{\circ}$，解得$\gamma = 65^{\circ}$，$α = 140^{\circ} - 65^{\circ} = 75^{\circ}$。
$∠ BAB' = ∠ CAC' = 180^{\circ} - 2\gamma = 50^{\circ}$，$△ ABB'$中，$AB' = AB$，$∠ ABB' = \frac{180^{\circ} - 50^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$。
$65^{\circ}$
14. 若关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-3}+\frac{2m}{3-x}=4$的解为正整数,则正数$m$的值是
6 或 9
.答案：14. 6 或 9
解析：
解：方程两边同乘$x - 3$，得$x + m - 2m = 4(x - 3)$，
化简得$x - m = 4x - 12$，
移项合并同类项得$-3x = -12 + m$，
解得$x = \frac{12 - m}{3} = 4 - \frac{m}{3}$。
因为方程的解为正整数，所以$4 - \frac{m}{3}$是正整数，且$x ≠ 3$。
$4 - \frac{m}{3} ＞ 0$，则$\frac{m}{3} ＜ 4$，即$m ＜ 12$。
又因为$m$是正数，且$\frac{m}{3}$是整数，所以$m$是$3$的倍数。
当$4 - \frac{m}{3} = 1$时，$\frac{m}{3} = 3$，$m = 9$；
当$4 - \frac{m}{3} = 2$时，$\frac{m}{3} = 2$，$m = 6$；
当$4 - \frac{m}{3} = 3$时，$\frac{m}{3} = 1$，$m = 3$，此时$x = 3$，为增根，舍去；
当$4 - \frac{m}{3} = 4$时，$\frac{m}{3} = 0$，$m = 0$，不符合正数要求，舍去。
综上，正数$m$的值是$6$或$9$。
化简得$x - m = 4x - 12$，
移项合并同类项得$-3x = -12 + m$，
解得$x = \frac{12 - m}{3} = 4 - \frac{m}{3}$。
因为方程的解为正整数，所以$4 - \frac{m}{3}$是正整数，且$x ≠ 3$。
$4 - \frac{m}{3} ＞ 0$，则$\frac{m}{3} ＜ 4$，即$m ＜ 12$。
又因为$m$是正数，且$\frac{m}{3}$是整数，所以$m$是$3$的倍数。
当$4 - \frac{m}{3} = 1$时，$\frac{m}{3} = 3$，$m = 9$；
当$4 - \frac{m}{3} = 2$时，$\frac{m}{3} = 2$，$m = 6$；
当$4 - \frac{m}{3} = 3$时，$\frac{m}{3} = 1$，$m = 3$，此时$x = 3$，为增根，舍去；
当$4 - \frac{m}{3} = 4$时，$\frac{m}{3} = 0$，$m = 0$，不符合正数要求，舍去。
综上，正数$m$的值是$6$或$9$。
15. 若$m$是$\sqrt{7}$的小数部分,则$m^{2}+4m+4$的值是
7
.答案：15. 7
解析：
因为$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分是$2$，小数部分$m = \sqrt{7}-2$。
$m^{2}+4m + 4=(m + 2)^{2}$，将$m=\sqrt{7}-2$代入得：
$(\sqrt{7}-2 + 2)^{2}=(\sqrt{7})^{2}=7$
7
$m^{2}+4m + 4=(m + 2)^{2}$，将$m=\sqrt{7}-2$代入得：
$(\sqrt{7}-2 + 2)^{2}=(\sqrt{7})^{2}=7$
7
16. 已知$a-b=-3ab$,则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=$
3
.答案：16. 3
解析：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{-(a-b)}{ab}$，因为$a-b=-3ab$，所以原式$=\frac{-(-3ab)}{ab}=\frac{3ab}{ab}=3$。
17. 如图,把两个边长不等的正方形放置在周长为16的矩形$ABCD$内,两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形$ABCD$的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为25,那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为
9
.答案：17. 9
解析：
设矩形$ABCD$的长为$a$，宽为$b$，两个正方形的边长分别为$m$、$n$（$m≠ n$）。
因为矩形周长为16，所以$2(a + b)=16$，即$a + b=8$。
两个正方形周长和为25，所以$4m + 4n=25$，即$m + n=\frac{25}{4}$。
由图形可知，阴影部分是矩形，其长为$m + n - b$，宽为$m + n - a$。
阴影部分周长为$2[(m + n - a)+(m + n - b)]=2[2(m + n)-(a + b)]$。
将$a + b=8$，$m + n=\frac{25}{4}$代入，得：
$2[2×\frac{25}{4}-8]=2[\frac{25}{2}-8]=2×\frac{9}{2}=9$。
9
因为矩形周长为16，所以$2(a + b)=16$，即$a + b=8$。
两个正方形周长和为25，所以$4m + 4n=25$，即$m + n=\frac{25}{4}$。
由图形可知，阴影部分是矩形，其长为$m + n - b$，宽为$m + n - a$。
阴影部分周长为$2[(m + n - a)+(m + n - b)]=2[2(m + n)-(a + b)]$。
将$a + b=8$，$m + n=\frac{25}{4}$代入，得：
$2[2×\frac{25}{4}-8]=2[\frac{25}{2}-8]=2×\frac{9}{2}=9$。
9
18. 如图,在菱形$ABCD$中,$AD=2$,$∠ ABC=120^{\circ}$,$E$是$BC$的中点,$P$为对角线$AC$上的一个动点,则$PE+PB$的最小值为
$ \sqrt{3} $
.答案：18. $ \sqrt{3} $
解析：
证明：连接$DE$，交$AC$于点$P$，连接$BD$。
在菱形$ABCD$中，$AD=2$，$∠ABC=120^{\circ}$，
$\therefore BC=CD=AD=2$，$∠BCD=60^{\circ}$，
$\therefore △ BCD$是等边三角形。
$E$是$BC$的中点，
$\therefore DE ⊥ BC$，$CE=\frac{1}{2}BC=1$。
在$Rt△ CDE$中，$CD=2$，$CE=1$，
$\therefore DE=\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
$\because$菱形$ABCD$的对角线$AC$是对称轴，
$\therefore$点$B$关于$AC$的对称点是点$D$，
$\therefore PB=PD$，
$\therefore PE+PB=PE+PD=DE=\sqrt{3}$，
即$PE+PB$的最小值为$\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
在菱形$ABCD$中，$AD=2$，$∠ABC=120^{\circ}$，
$\therefore BC=CD=AD=2$，$∠BCD=60^{\circ}$，
$\therefore △ BCD$是等边三角形。
$E$是$BC$的中点，
$\therefore DE ⊥ BC$，$CE=\frac{1}{2}BC=1$。
在$Rt△ CDE$中，$CD=2$，$CE=1$，
$\therefore DE=\sqrt{CD^{2}-CE^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
$\because$菱形$ABCD$的对角线$AC$是对称轴，
$\therefore$点$B$关于$AC$的对称点是点$D$，
$\therefore PB=PD$，
$\therefore PE+PB=PE+PD=DE=\sqrt{3}$，
即$PE+PB$的最小值为$\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$