23. 为了解宿迁市某校八年级学生的身高情况,随机抽取部分学生的身高进行调查,利用所得数据绘制成如下统计图表.请根据图表信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$
(2)补全频数分布直方图;
(3)该校八年级共有600名学生,估计身高不低于165 cm的学生有多少名.
(1)填空:$a=$
10
,$b=$$ 12\% $
;(2)补全频数分布直方图;
(3)该校八年级共有600名学生,估计身高不低于165 cm的学生有多少名.
答案：
23. (1) 10 $ 12\% $
(2) 解: 补全频数分布直方图如答图所示.
(3) 解: $ 600 × \frac{14 + 6}{50} = 240 $ (名). 答: 估计身高不低于 $ 165 \, \mathrm{cm} $ 的学生有 240 名.
23. (1) 10 $ 12\% $
(2) 解: 补全频数分布直方图如答图所示.
(3) 解: $ 600 × \frac{14 + 6}{50} = 240 $ (名). 答: 估计身高不低于 $ 165 \, \mathrm{cm} $ 的学生有 240 名.
24. 如图,在等腰梯形$ABCD$中,$∠ BCD=60^{\circ}$,$AD// BC$,且$AD=DC$,$E$,$F$分别在$AD$,$DC$的延长线上,且$DE=CF$,$AF$,$BE$交于点$P$.
(1)求证:$AF=BE$;
(2)请你猜测$∠ BPF$的度数,并证明你的结论.
(1)求证:$AF=BE$;
(2)请你猜测$∠ BPF$的度数,并证明你的结论.
答案：24. (1) 证明:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是等腰梯形,
∴ $ ∠ BAD = ∠ CDA $, $ AB = CD $.
∵ $ AD = DC $,
∴ $ AB = AD = CD $.
∵ $ DE = CF $,
∴ $ AD + DE = CD + CF $, 即 $ AE = DF $. 又
∵ $ BA = AD $, $ ∠ BAE = ∠ ADF $,
∴ $ △ BAE ≌ △ ADF(SAS) $,
∴ $ BE = AF $.
(2) 解: $ ∠ BPF = 120^{\circ} $. 证明如下:
∵ 由 (1) 知 $ △ BAE ≌ △ ADF $,
∴ $ ∠ ABE = ∠ DAF $,
∴ $ ∠ BPF = ∠ ABE + ∠ BAP = ∠ BAE $.
∵ $ AD // BC $, $ ∠ BCD = ∠ ABC = 60^{\circ} $,
∴ $ ∠ BAD = 120^{\circ} $,
∴ $ ∠ BPF = ∠ BAE = 120^{\circ} $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是等腰梯形,
∴ $ ∠ BAD = ∠ CDA $, $ AB = CD $.
∵ $ AD = DC $,
∴ $ AB = AD = CD $.
∵ $ DE = CF $,
∴ $ AD + DE = CD + CF $, 即 $ AE = DF $. 又
∵ $ BA = AD $, $ ∠ BAE = ∠ ADF $,
∴ $ △ BAE ≌ △ ADF(SAS) $,
∴ $ BE = AF $.
(2) 解: $ ∠ BPF = 120^{\circ} $. 证明如下:
∵ 由 (1) 知 $ △ BAE ≌ △ ADF $,
∴ $ ∠ ABE = ∠ DAF $,
∴ $ ∠ BPF = ∠ ABE + ∠ BAP = ∠ BAE $.
∵ $ AD // BC $, $ ∠ BCD = ∠ ABC = 60^{\circ} $,
∴ $ ∠ BAD = 120^{\circ} $,
∴ $ ∠ BPF = ∠ BAE = 120^{\circ} $.