25. 市政府计划对城区道路进行改造,现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍,甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天.
(1)甲、乙两队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲工程队工作一天的费用为7万元,乙工程队工作一天的费用为5万元,需改造的城区道路全长为1800米,若安排甲、乙两个工程队同时开工,求完成城区道路改造的总费用.
(1)甲、乙两队每天能改造道路的长度分别是多少米?
(2)若甲工程队工作一天的费用为7万元,乙工程队工作一天的费用为5万元,需改造的城区道路全长为1800米,若安排甲、乙两个工程队同时开工,求完成城区道路改造的总费用.
答案：25. 解: (1) 设乙队每天能改造道路的长度为 $ x $ 米, 则甲队每天能改造道路的长度为 $ 1.5x $ 米. 根据题意, 得 $ \frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 2 $, 解得 $ x = 40 $. 经检验, $ x = 40 $ 是所列方程的解.
∴ $ 1.5x = 60 $. 答: 甲队每天能改造道路的长度为 60 米, 乙队每天能改造道路的长度为 40 米.
(2) 设甲、乙两队同时开工需要 $ m $ 天完成. 根据题意, 得 $ 60m + 40m = 1800 $, 解得 $ m = 18 $. $ (7 + 5) × 18 = 216 $ (万元). 答: 完成城区道路改造的总费用为 216 万元.
∴ $ 1.5x = 60 $. 答: 甲队每天能改造道路的长度为 60 米, 乙队每天能改造道路的长度为 40 米.
(2) 设甲、乙两队同时开工需要 $ m $ 天完成. 根据题意, 得 $ 60m + 40m = 1800 $, 解得 $ m = 18 $. $ (7 + 5) × 18 = 216 $ (万元). 答: 完成城区道路改造的总费用为 216 万元.
26. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$E$为$AB$上一点.
(1)如图①,只用无刻度直尺在$CD$上作出点$F$,使得四边形$AECF$为平行四边形;
(2)如图②,用直尺和圆规作出菱形$EFGH$,使得点$F$,$G$,$H$分别在$BC$,$CD$,$DA$上.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(1)如图①,只用无刻度直尺在$CD$上作出点$F$,使得四边形$AECF$为平行四边形;
(2)如图②,用直尺和圆规作出菱形$EFGH$,使得点$F$,$G$,$H$分别在$BC$,$CD$,$DA$上.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
答案：
26. 解: (1) 如答图①, 连接 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ O $, 连接 $ EO $ 并延长, 交 $ CD $ 于点 $ F $, 点 $ F $ 即为所求作的点. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
∴ $ AB // CD $, $ OA = OC $.
∴ $ ∠ OAE = ∠ OCF $. 又
∵ $ ∠ AOE = ∠ COF $,
∴ $ △ AOE ≌ △ COF(ASA) $.
∴ $ OE = OF $.
∴ 四边形 $ AECF $ 为平行四边形.
(2) 如答图②, 连接 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ O $, 连接 $ EO $ 并延长, 交 $ CD $ 于点 $ G $, 作线段 $ EG $ 的垂直平分线交 $ AD $ 于点 $ H $, 交 $ BC $ 于点 $ F $, 连接 $ EH $, $ GH $, $ EF $, $ FG $, 则四边形 $ EFGH $ 即为所求作的菱形 $ EFGH $. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
∴ $ AB // CD $, $ AD // BC $, $ OA = OC $.
∴ $ ∠ OAE = ∠ OCG $, $ ∠ OAH = ∠ OCF $. 又
∵ $ ∠ AOE = ∠ COG $, $ ∠ AOH = ∠ COF $,
∴ $ △ AOE ≌ △ COG(ASA) $, $ △ AOH ≌ △ COF(ASA) $.
∴ $ OE = OG $, $ OH = OF $.
∵ $ EG $ 和 $ HF $ 互相垂直平分,
∴ 四边形 $ EFGH $ 是菱形.
26. 解: (1) 如答图①, 连接 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ O $, 连接 $ EO $ 并延长, 交 $ CD $ 于点 $ F $, 点 $ F $ 即为所求作的点. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
∴ $ AB // CD $, $ OA = OC $.
∴ $ ∠ OAE = ∠ OCF $. 又
∵ $ ∠ AOE = ∠ COF $,
∴ $ △ AOE ≌ △ COF(ASA) $.
∴ $ OE = OF $.
∴ 四边形 $ AECF $ 为平行四边形.
(2) 如答图②, 连接 $ AC $, $ BD $ 交于点 $ O $, 连接 $ EO $ 并延长, 交 $ CD $ 于点 $ G $, 作线段 $ EG $ 的垂直平分线交 $ AD $ 于点 $ H $, 交 $ BC $ 于点 $ F $, 连接 $ EH $, $ GH $, $ EF $, $ FG $, 则四边形 $ EFGH $ 即为所求作的菱形 $ EFGH $. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
∴ $ AB // CD $, $ AD // BC $, $ OA = OC $.
∴ $ ∠ OAE = ∠ OCG $, $ ∠ OAH = ∠ OCF $. 又
∵ $ ∠ AOE = ∠ COG $, $ ∠ AOH = ∠ COF $,
∴ $ △ AOE ≌ △ COG(ASA) $, $ △ AOH ≌ △ COF(ASA) $.
∴ $ OE = OG $, $ OH = OF $.
∵ $ EG $ 和 $ HF $ 互相垂直平分,
∴ 四边形 $ EFGH $ 是菱形.