27. 如图,正方形$ABCD$的边长为$3\sqrt{2}$,$E$为正方形对角线$BD$上一动点,连接$CE$,将线段$CE$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$CF$,连接$DF$,$EF$.
(1)判断$△ DEF$的形状,并说明理由.
(2)取$EF$的中点$G$,连接$BG$,$CG$,则$△ BCG$的面积是否为定值? 如果是,请求出这个值;如果不是,请说明理由.
(3)点$H$是点$G$关于直线$BD$的对称点,直接写出线段$AH$的最小值.
(1)判断$△ DEF$的形状,并说明理由.
(2)取$EF$的中点$G$,连接$BG$,$CG$,则$△ BCG$的面积是否为定值? 如果是,请求出这个值;如果不是,请说明理由.
(3)点$H$是点$G$关于直线$BD$的对称点,直接写出线段$AH$的最小值.
答案：
27. 解: (1) $ △ DEF $ 是直角三角形. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ BD $ 为对角线,
∴ $ AB = BC = CD = AD $, $ ∠ CBD = ∠ BDC = 45^{\circ} $, $ ∠ BCD = 90^{\circ} $.
∵ 线段 $ CE $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ CF $,
∴ $ CE = CF $, $ ∠ ECF = 90^{\circ} $.
∵ $ ∠ BCE = ∠ BCD - ∠ ECD $, $ ∠ DCF = ∠ ECF - ∠ ECD $,
∴ $ ∠ BCE = ∠ DCF $. 在 $ △ BCE $ 和 $ △ DCF $ 中, $ \begin{cases} BC = DC, \\ ∠ BCE = ∠ DCF, \\ CE = CF, \end{cases} $
∴ $ △ BCE ≌ △ DCF(SAS) $.
∴ $ ∠ CBE = ∠ CDF = 45^{\circ} $,
∴ $ ∠ EDF = ∠ BDC + ∠ CDF = 90^{\circ} $,
∴ $ △ DEF $ 是直角三角形.
(2) $ △ BCG $ 的面积为定值. 求解如下: 如答图①, 连接 $ DG $, 过点 $ G $ 作 $ GH' ⊥ CD $ 于点 $ H' $, 则 $ ∠ GH'D = ∠ BCD = 90^{\circ} $,
∴ $ GH' // BC $,
∴ $ CH' $ 与 $ △ BCG $ 的边 $ BC $ 上的高相等.
∵ $ ∠ EDF = ∠ ECF = 90^{\circ} $, 点 $ G $ 为 $ EF $ 的中点,
∴ $ DG = CG = \frac{1}{2}EF $,
∴ $ CH' = DH' = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $,
∴ $ S_{△ BCG} = \frac{1}{2}BC · CH' = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \frac{3\sqrt{2}}{2} = 4.5 $.
(3) $ AH $ 的最小值为 $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $. 理由如下: 如答图②, 连接 $ BH $.
∵ 点 $ H $ 是点 $ G $ 关于直线 $ BD $ 的对称点,
∴ $ BH = BG $, $ ∠ HBD = ∠ GBD $,
∴ $ ∠ ABH = ∠ CBG $. 在 $ △ ABH $ 和 $ △ CBG $ 中, $ \begin{cases} AB = CB, \\ ∠ ABH = ∠ CBG, \\ BH = BG, \end{cases} $
∴ $ △ ABH ≌ △ CBG(SAS) $,
∴ $ AH = CG $. 当 $ CG ⊥ EF $ 时, $ CG $ 取得最小值, 即 $ AH $ 取得最小值, 由 (2) 可得 $ CG ≥ \frac{1}{2}CD = \frac{3\sqrt{2}}{2} $,
∴ $ AH $ 的最小值为 $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $.
27. 解: (1) $ △ DEF $ 是直角三角形. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $ BD $ 为对角线,
∴ $ AB = BC = CD = AD $, $ ∠ CBD = ∠ BDC = 45^{\circ} $, $ ∠ BCD = 90^{\circ} $.
∵ 线段 $ CE $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ CF $,
∴ $ CE = CF $, $ ∠ ECF = 90^{\circ} $.
∵ $ ∠ BCE = ∠ BCD - ∠ ECD $, $ ∠ DCF = ∠ ECF - ∠ ECD $,
∴ $ ∠ BCE = ∠ DCF $. 在 $ △ BCE $ 和 $ △ DCF $ 中, $ \begin{cases} BC = DC, \\ ∠ BCE = ∠ DCF, \\ CE = CF, \end{cases} $
∴ $ △ BCE ≌ △ DCF(SAS) $.
∴ $ ∠ CBE = ∠ CDF = 45^{\circ} $,
∴ $ ∠ EDF = ∠ BDC + ∠ CDF = 90^{\circ} $,
∴ $ △ DEF $ 是直角三角形.
(2) $ △ BCG $ 的面积为定值. 求解如下: 如答图①, 连接 $ DG $, 过点 $ G $ 作 $ GH' ⊥ CD $ 于点 $ H' $, 则 $ ∠ GH'D = ∠ BCD = 90^{\circ} $,
∴ $ GH' // BC $,
∴ $ CH' $ 与 $ △ BCG $ 的边 $ BC $ 上的高相等.
∵ $ ∠ EDF = ∠ ECF = 90^{\circ} $, 点 $ G $ 为 $ EF $ 的中点,
∴ $ DG = CG = \frac{1}{2}EF $,
∴ $ CH' = DH' = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $,
∴ $ S_{△ BCG} = \frac{1}{2}BC · CH' = \frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \frac{3\sqrt{2}}{2} = 4.5 $.
(3) $ AH $ 的最小值为 $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $. 理由如下: 如答图②, 连接 $ BH $.
∵ 点 $ H $ 是点 $ G $ 关于直线 $ BD $ 的对称点,
∴ $ BH = BG $, $ ∠ HBD = ∠ GBD $,
∴ $ ∠ ABH = ∠ CBG $. 在 $ △ ABH $ 和 $ △ CBG $ 中, $ \begin{cases} AB = CB, \\ ∠ ABH = ∠ CBG, \\ BH = BG, \end{cases} $
∴ $ △ ABH ≌ △ CBG(SAS) $,
∴ $ AH = CG $. 当 $ CG ⊥ EF $ 时, $ CG $ 取得最小值, 即 $ AH $ 取得最小值, 由 (2) 可得 $ CG ≥ \frac{1}{2}CD = \frac{3\sqrt{2}}{2} $,
∴ $ AH $ 的最小值为 $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $.