28. (1)【问题提出】如图①,在正方形$ABCD$中,$E$为边$BC$上一点(不与点$B$,$C$重合),垂直于$AE$的一条直线$MN$分别交$AB$,$AE$,$CD$于点$M$,$P$,$N$.判断线段$DN$,$MB$,$EC$之间的数量关系,并说明理由.
(2)【问题探究】在(1)的基础上,解答下列问题:
①如图②,若垂足$P$恰好为$AE$的中点,连接$BD$,交$MN$于点$Q$,连接$EQ$并延长,交$AD$于点$F$,求$∠ AEF$的度数;
②如图③,当垂足$P$在正方形$ABCD$的对角线$BD$上时,连接$AN$,将$△ APN$沿着$AN$翻折,点$P$落在点$P'$处.若正方形$ABCD$的边长为4,$AD$的中点为$S$,求$P'S$的最小值.
(2)【问题探究】在(1)的基础上,解答下列问题:
①如图②,若垂足$P$恰好为$AE$的中点,连接$BD$,交$MN$于点$Q$,连接$EQ$并延长,交$AD$于点$F$,求$∠ AEF$的度数;
②如图③,当垂足$P$在正方形$ABCD$的对角线$BD$上时,连接$AN$,将$△ APN$沿着$AN$翻折,点$P$落在点$P'$处.若正方形$ABCD$的边长为4,$AD$的中点为$S$,求$P'S$的最小值.
答案：
28. 解: (1) $ CE = BM + DN $. 理由如下: 如答图①, 过点 $ B $ 作 $ BF // MN $ 交 $ CD $ 于点 $ F $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形,
∴ $ AB = BC = CD $, $ ∠ ABE = ∠ C = 90^{\circ} $, $ AB // CD $,
∴ 四边形 $ MNFB $ 是平行四边形,
∴ $ MB = NF $.
∵ $ MN ⊥ AE $, $ BF // MN $,
∴ $ BF ⊥ AE $,
∴ $ ∠ AEB + ∠ CBF = 90^{\circ} $, $ ∠ CBF + ∠ CFB = 90^{\circ} $,
∴ $ ∠ AEB = ∠ CFB $,
∴ $ △ ABE ≌ △ BCF(AAS) $,
∴ $ BE = CF $.
∵ $ DN + NF + CF = CD $, $ BE + EC = BC $,
∴ $ CE = MB + DN $.
(2) ① 如答图②, 连接 $ QA $, 过点 $ Q $ 作 $ GH ⊥ BC $ 于点 $ H $, 交 $ AD $ 于点 $ G $, 得矩形 $ ABHG $,
∴ $ AG = BH $, $ ∠ BHQ = ∠ AGQ = 90^{\circ} $.
∵ $ ∠ QBH = 45^{\circ} $,
∴ $ △ BHQ $ 是等腰直角三角形,
∴ $ BH = QH = AG $.
∵ $ MN $ 垂直平分线段 $ AE $,
∴ $ QA = QE $,
∴ $ △ AGQ ≌ △ QHE(HL) $,
∴ $ ∠ GAQ = ∠ EQH $.
∵ $ ∠ AQG + ∠ QAG = 90^{\circ} $,
∴ $ ∠ AQG + ∠ EQH = 90^{\circ} $,
∴ $ ∠ AQE = 90^{\circ} $,
∴ $ △ AEQ $ 是等腰直角三角形,
∴ $ ∠ AEF = 45^{\circ} $.
② 如答图③, 连接 $ AC $, 交 $ BD $ 于点 $ O $. 设点 $ O $ 关于直线 $ AD $ 的对称点为 $ O' $, 连接 $ DO' $, 则 $ ∠ ADO' = ∠ ADO = 45^{\circ} $. 当点 $ P $ 与点 $ B $ 重合时, 点 $ P' $ 与点 $ D $ 重合; 当点 $ P $ 与点 $ O $ 重合时, 点 $ P' $ 与点 $ O' $ 重合.
∵ 点 $ E $ 在线段 $ BC $ 上,
∴ 点 $ P $ 在线段 $ BO $ 上,
∴ 点 $ P' $ 在线段 $ DO' $ 上. 过点 $ S $ 作 $ SK ⊥ DO' $ 于点 $ K $, 则当点 $ P' $ 与点 $ K $ 重合时, $ P'S $ 的长取最小值, 且最小值为 $ SK $ 的长.
∵ $ ∠ SKD = 90^{\circ} $, $ ∠ SDK = 45^{\circ} $,
∴ $ △ SKD $ 是等腰直角三角形,
∴ $ DK = SK $. 设 $ DK = SK = x $.
∵ $ S $ 为 $ AD $ 的中点,
∴ $ DS = \frac{1}{2}AD = 2 $.
∵ $ DK^{2} + SK^{2} = DS^{2} $,
∴ $ 2x^{2} = 4 $, 解得 $ x = \sqrt{2} $ (负值舍去), 即 $ SK = \sqrt{2} $,
∴ $ P'S $ 的最小值为 $ \sqrt{2} $.
28. 解: (1) $ CE = BM + DN $. 理由如下: 如答图①, 过点 $ B $ 作 $ BF // MN $ 交 $ CD $ 于点 $ F $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形,
∴ $ AB = BC = CD $, $ ∠ ABE = ∠ C = 90^{\circ} $, $ AB // CD $,
∴ 四边形 $ MNFB $ 是平行四边形,
∴ $ MB = NF $.
∵ $ MN ⊥ AE $, $ BF // MN $,
∴ $ BF ⊥ AE $,
∴ $ ∠ AEB + ∠ CBF = 90^{\circ} $, $ ∠ CBF + ∠ CFB = 90^{\circ} $,
∴ $ ∠ AEB = ∠ CFB $,
∴ $ △ ABE ≌ △ BCF(AAS) $,
∴ $ BE = CF $.
∵ $ DN + NF + CF = CD $, $ BE + EC = BC $,
∴ $ CE = MB + DN $.
(2) ① 如答图②, 连接 $ QA $, 过点 $ Q $ 作 $ GH ⊥ BC $ 于点 $ H $, 交 $ AD $ 于点 $ G $, 得矩形 $ ABHG $,
∴ $ AG = BH $, $ ∠ BHQ = ∠ AGQ = 90^{\circ} $.
∵ $ ∠ QBH = 45^{\circ} $,
∴ $ △ BHQ $ 是等腰直角三角形,
∴ $ BH = QH = AG $.
∵ $ MN $ 垂直平分线段 $ AE $,
∴ $ QA = QE $,
∴ $ △ AGQ ≌ △ QHE(HL) $,
∴ $ ∠ GAQ = ∠ EQH $.
∵ $ ∠ AQG + ∠ QAG = 90^{\circ} $,
∴ $ ∠ AQG + ∠ EQH = 90^{\circ} $,
∴ $ ∠ AQE = 90^{\circ} $,
∴ $ △ AEQ $ 是等腰直角三角形,
∴ $ ∠ AEF = 45^{\circ} $.
② 如答图③, 连接 $ AC $, 交 $ BD $ 于点 $ O $. 设点 $ O $ 关于直线 $ AD $ 的对称点为 $ O' $, 连接 $ DO' $, 则 $ ∠ ADO' = ∠ ADO = 45^{\circ} $. 当点 $ P $ 与点 $ B $ 重合时, 点 $ P' $ 与点 $ D $ 重合; 当点 $ P $ 与点 $ O $ 重合时, 点 $ P' $ 与点 $ O' $ 重合.
∵ 点 $ E $ 在线段 $ BC $ 上,
∴ 点 $ P $ 在线段 $ BO $ 上,
∴ 点 $ P' $ 在线段 $ DO' $ 上. 过点 $ S $ 作 $ SK ⊥ DO' $ 于点 $ K $, 则当点 $ P' $ 与点 $ K $ 重合时, $ P'S $ 的长取最小值, 且最小值为 $ SK $ 的长.
∵ $ ∠ SKD = 90^{\circ} $, $ ∠ SDK = 45^{\circ} $,
∴ $ △ SKD $ 是等腰直角三角形,
∴ $ DK = SK $. 设 $ DK = SK = x $.
∵ $ S $ 为 $ AD $ 的中点,
∴ $ DS = \frac{1}{2}AD = 2 $.
∵ $ DK^{2} + SK^{2} = DS^{2} $,
∴ $ 2x^{2} = 4 $, 解得 $ x = \sqrt{2} $ (负值舍去), 即 $ SK = \sqrt{2} $,
∴ $ P'S $ 的最小值为 $ \sqrt{2} $.