16. 如图，将矩形$ABCD$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到矩形$A'B'CD'$，$E$，$F$分别是$BD$，$B'D'$的中点.若$AB = 1\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，则$EF$的长为
5
$\mathrm{cm}$.答案：16. 5
解析：
解：以点$C$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$CD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
因为$AB = 1\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，矩形$ABCD$中，$AB = CD = 1$，$BC = AD = 7$，所以点$B(-7,0)$，$D(0,1)$。
$E$是$BD$的中点，$B(-7,0)$，$D(0,1)$，则$E$点坐标为$(\dfrac{-7 + 0}{2},\dfrac{0 + 1}{2})=(-\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2})$。
矩形$ABCD$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到矩形$A'B'CD'$，则点$B'$的坐标为$(0,7)$，$D'$的坐标为$(1,0)$。
$F$是$B'D'$的中点，$B'(0,7)$，$D'(1,0)$，则$F$点坐标为$(\dfrac{0 + 1}{2},\dfrac{7 + 0}{2})=(\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2})$。
根据两点间距离公式，$EF=\sqrt{(\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{7}{2}))^{2}+(\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2})^{2}}=\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
故答案为：$5$
因为$AB = 1\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，矩形$ABCD$中，$AB = CD = 1$，$BC = AD = 7$，所以点$B(-7,0)$，$D(0,1)$。
$E$是$BD$的中点，$B(-7,0)$，$D(0,1)$，则$E$点坐标为$(\dfrac{-7 + 0}{2},\dfrac{0 + 1}{2})=(-\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2})$。
矩形$ABCD$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到矩形$A'B'CD'$，则点$B'$的坐标为$(0,7)$，$D'$的坐标为$(1,0)$。
$F$是$B'D'$的中点，$B'(0,7)$，$D'(1,0)$，则$F$点坐标为$(\dfrac{0 + 1}{2},\dfrac{7 + 0}{2})=(\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2})$。
根据两点间距离公式，$EF=\sqrt{(\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{7}{2}))^{2}+(\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2})^{2}}=\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
故答案为：$5$
17. 当分母的次数高于分子的次数时，我们把这样的分式叫作真分式.当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这样的分式叫作假分式.任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式.如$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$.当$x ＞ -1$时，随着$x$的不断增大，$\frac{2x + 7}{x + 1}$的值会无限接近的数是
2
.答案：17. 2
解析：
$\frac{2x + 7}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 5}{x + 1} = 2 + \frac{5}{x + 1}$，当$x＞-1$且$x$不断增大时，$\frac{5}{x + 1}$无限接近$0$，所以$\frac{2x + 7}{x + 1}$的值无限接近$2$。
2
2
18. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 8$，$BC = 6$，$AD$平分$∠ BAC$.点$P$，$Q$分别是$AB$，$AD$的中点，则$PQ$的长为
$\frac{5}{3}$
.答案：
18. $ \frac{5}{3} $ 点拨:如答图,过点 D 作 $ DH ⊥ AB $ 于点 H.
$ \because ∠ ACB = 90^{\circ} $, AD 平分 $ ∠ BAC $, $ \therefore CD = DH $.
$ \because AD = AD $, $ DH = DC $,
$ \therefore \mathrm{Rt}△ ADH ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(HL) $, $ \therefore AH = AC = 8 $.
$ \because ∠ ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 8 $, $ BC = 6 $,
$ \therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 10 $,
$ \therefore BH = AB - AH = 2 $.
设 $ BD = x $, $ \therefore DC = DH = 6 - x $.
$ \because BD^{2} = BH^{2} + DH^{2} $, $ \therefore x^{2} = 2^{2} + (6 - x)^{2} $,
解得 $ x = \frac{10}{3} $, $ \therefore BD = \frac{10}{3} $.
$ \because P $, Q 分别是 AB, AD 的中点,
$ \therefore PQ $ 是 $ △ ABD $ 的中位线, $ \therefore PQ = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{3} $.
18. $ \frac{5}{3} $ 点拨:如答图,过点 D 作 $ DH ⊥ AB $ 于点 H.
$ \because ∠ ACB = 90^{\circ} $, AD 平分 $ ∠ BAC $, $ \therefore CD = DH $.
$ \because AD = AD $, $ DH = DC $,
$ \therefore \mathrm{Rt}△ ADH ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(HL) $, $ \therefore AH = AC = 8 $.
$ \because ∠ ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 8 $, $ BC = 6 $,
$ \therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 10 $,
$ \therefore BH = AB - AH = 2 $.
设 $ BD = x $, $ \therefore DC = DH = 6 - x $.
$ \because BD^{2} = BH^{2} + DH^{2} $, $ \therefore x^{2} = 2^{2} + (6 - x)^{2} $,
解得 $ x = \frac{10}{3} $, $ \therefore BD = \frac{10}{3} $.
$ \because P $, Q 分别是 AB, AD 的中点,
$ \therefore PQ $ 是 $ △ ABD $ 的中位线, $ \therefore PQ = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{3} $.
19. 因式分解：
(1) $x^2(x - y) + (y - x)$；
(2) $(x^2 + 4)^2 - 16x^2$.
(1) $x^2(x - y) + (y - x)$；
(2) $(x^2 + 4)^2 - 16x^2$.
答案：19. 解:(1)原式 $ = (x - y)(x^{2} - 1) = (x - y)(x + 1)(x - 1) $.
(2)原式 $ = (x^{2} + 4 + 4x)(x^{2} + 4 - 4x) = (x + 2)^{2}(x - 2)^{2} $.
(2)原式 $ = (x^{2} + 4 + 4x)(x^{2} + 4 - 4x) = (x + 2)^{2}(x - 2)^{2} $.
20. 计算：
(1) $\sqrt{27} - \sqrt{3} + \sqrt{75}$；
(2) $(\sqrt{7} + 3)^2(\sqrt{7} - 3)$.
(1) $\sqrt{27} - \sqrt{3} + \sqrt{75}$；
(2) $(\sqrt{7} + 3)^2(\sqrt{7} - 3)$.
答案：20. 解:(1)原式 $ = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3} $.
(2)原式 $ = (\sqrt{7} + 3)[(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)] = (\sqrt{7} + 3) · [(\sqrt{7})^{2} - 3^{2}] = (\sqrt{7} + 3)(7 - 9) = -2\sqrt{7} - 6 $.
(2)原式 $ = (\sqrt{7} + 3)[(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)] = (\sqrt{7} + 3) · [(\sqrt{7})^{2} - 3^{2}] = (\sqrt{7} + 3)(7 - 9) = -2\sqrt{7} - 6 $.