21. 解分式方程：
(1) $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$；
(2) $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$.
(1) $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$；
(2) $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$.
答案：21. 解:(1)方程两边同乘 $ x(x + 3) $,得 $ x + 3 = 5x $,
解这个方程,得 $ x = \frac{3}{4} $.
检验:当 $ x = \frac{3}{4} $ 时, $ x(x + 3) ≠ 0 $,
$ \therefore $ 原方程的解是 $ x = \frac{3}{4} $.
(2)方程两边同乘 $ (x - 1)(x + 2) $,
得 $ x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3 $,
解这个方程,得 $ x = 1 $.
检验:当 $ x = 1 $ 时, $ (x - 1)(x + 2) = 0 $, $ x = 1 $ 是增根.
$ \therefore $ 原方程无解.
解这个方程,得 $ x = \frac{3}{4} $.
检验:当 $ x = \frac{3}{4} $ 时, $ x(x + 3) ≠ 0 $,
$ \therefore $ 原方程的解是 $ x = \frac{3}{4} $.
(2)方程两边同乘 $ (x - 1)(x + 2) $,
得 $ x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3 $,
解这个方程,得 $ x = 1 $.
检验:当 $ x = 1 $ 时, $ (x - 1)(x + 2) = 0 $, $ x = 1 $ 是增根.
$ \therefore $ 原方程无解.
22. 先化简，再求值：$\frac{a}{2a + 4} ÷ \frac{a}{2} + \frac{4}{a^2 - 4}$，其中$a = \sqrt{3} + 2$.
答案：22. 解:原式 $ = \frac{a}{2(a + 2)} · \frac{2}{a} + \frac{4}{(a + 2)(a - 2)} $
$ = \frac{1}{a + 2} + \frac{4}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a - 2 + 4}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)} $
$ = \frac{1}{a - 2} $.
当 $ a = \sqrt{3} + 2 $ 时,原式 $ = \frac{1}{\sqrt{3} + 2 - 2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ = \frac{1}{a + 2} + \frac{4}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a - 2 + 4}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)} $
$ = \frac{1}{a - 2} $.
当 $ a = \sqrt{3} + 2 $ 时,原式 $ = \frac{1}{\sqrt{3} + 2 - 2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
23. 如图，在矩形$ABCD$中，$AC$是对角线.
(1)【实践与操作】利用尺规作线段$AC$的垂直平分线，垂足为$O$，交边$AD$于点$E$，交边$BC$于点$F$；
(2)【问题解决】连接$AF$，$CE$，判断四边形$AECF$的形状，并进行证明.
(1)【实践与操作】利用尺规作线段$AC$的垂直平分线，垂足为$O$，交边$AD$于点$E$，交边$BC$于点$F$；
(2)【问题解决】连接$AF$，$CE$，判断四边形$AECF$的形状，并进行证明.
答案：
23. 解:(1)如答图所示,直线 EF 即为所求.
(2)四边形 AECF 是菱形. 理由如下:
由作图知, $ EF ⊥ AC $, $ OA = OC $.
$ \because $ 在矩形 ABCD 中, $ AD // BC $,
$ \therefore ∠ OAE = ∠ OCF $, $ ∠ OEA = ∠ OFC $,
$ \therefore △ AOE ≌ △ COF(AAS) $, $ \therefore OE = OF $,
$ \therefore $ 四边形 AECF 是平行四边形.
$ \because EF ⊥ AC $, $ \therefore $ 平行四边形 AECF 是菱形.
23. 解:(1)如答图所示,直线 EF 即为所求.
(2)四边形 AECF 是菱形. 理由如下:
由作图知, $ EF ⊥ AC $, $ OA = OC $.
$ \because $ 在矩形 ABCD 中, $ AD // BC $,
$ \therefore ∠ OAE = ∠ OCF $, $ ∠ OEA = ∠ OFC $,
$ \therefore △ AOE ≌ △ COF(AAS) $, $ \therefore OE = OF $,
$ \therefore $ 四边形 AECF 是平行四边形.
$ \because EF ⊥ AC $, $ \therefore $ 平行四边形 AECF 是菱形.