2. 用数学的眼光观察：同学们，在学习中，你会发现“$x + \dfrac{1}{x}$”与“$x - \dfrac{1}{x}$”有着紧密的联系。
请你认真观察等式：$(x + \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$，$(x - \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$。
用数学的思维思考并解决如下问题：
(1) 填空：$(a + \dfrac{1}{a})^{2} - (a - \dfrac{1}{a})^{2} = $
(2) 计算：①若 $(a + \dfrac{1}{a})^{2} = 20$，求 $a - \dfrac{1}{a}$ 的值；
②若 $a^{2} + a - 1 = 0$，求 $a + \dfrac{1}{a}$ 的值；
③已知 $\left|\dfrac{1}{a}\right| - a = 1$，求 $\left|\dfrac{1}{a}\right| + a$ 的值。
请你认真观察等式：$(x + \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$，$(x - \dfrac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$。
用数学的思维思考并解决如下问题：
(1) 填空：$(a + \dfrac{1}{a})^{2} - (a - \dfrac{1}{a})^{2} = $
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。(2) 计算：①若 $(a + \dfrac{1}{a})^{2} = 20$，求 $a - \dfrac{1}{a}$ 的值；
②若 $a^{2} + a - 1 = 0$，求 $a + \dfrac{1}{a}$ 的值；
③已知 $\left|\dfrac{1}{a}\right| - a = 1$，求 $\left|\dfrac{1}{a}\right| + a$ 的值。
答案：2. (1) 4 点拨：$(a+\frac {1}{a})^{2}-(a-\frac {1}{a})^{2}=a^{2}+2+\frac {1}{a^{2}}-(a^{2}-2+\frac {1}{a^{2}})=4$。
(2) 解：①$\because (a+\frac {1}{a})^{2}=20$，
$\therefore (a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=20-4=16$。
$\therefore a-\frac {1}{a}=\pm 4$。
②$\because a^{2}+a-1=0$，易知$a≠ 0$，
$\therefore$ 方程两边同除以$a$，
得$a+1-\frac {1}{a}=0$，即$a-\frac {1}{a}=-1$。
$\because (a+\frac {1}{a})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}+4=(-1)^{2}+4=5$，
$\therefore a+\frac {1}{a}=\pm \sqrt {5}$。
③当$\frac {1}{a}＞0$，即$a＞0$时，由$|\frac {1}{a}|-a=1$，得$\frac {1}{a}-a=1$，
从而$a-\frac {1}{a}=-1$。
$\because (a+\frac {1}{a})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}+4=(-1)^{2}+4=5$，
$\therefore a+\frac {1}{a}=\pm \sqrt {5}$。
$\because a＞0$，$\therefore |\frac {1}{a}|+a=a+\frac {1}{a}=\sqrt {5}$。
当$\frac {1}{a}＜0$，即$a＜0$时，由$|\frac {1}{a}|-a=1$，得$-\frac {1}{a}-a=1$，
从而$a+\frac {1}{a}=-1$。
而$(a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=(-1)^{2}-4=-3＜0$，
故舍去。
综上，$|\frac {1}{a}|+a$的值为$\sqrt {5}$。
(2) 解：①$\because (a+\frac {1}{a})^{2}=20$，
$\therefore (a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=20-4=16$。
$\therefore a-\frac {1}{a}=\pm 4$。
②$\because a^{2}+a-1=0$，易知$a≠ 0$，
$\therefore$ 方程两边同除以$a$，
得$a+1-\frac {1}{a}=0$，即$a-\frac {1}{a}=-1$。
$\because (a+\frac {1}{a})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}+4=(-1)^{2}+4=5$，
$\therefore a+\frac {1}{a}=\pm \sqrt {5}$。
③当$\frac {1}{a}＞0$，即$a＞0$时，由$|\frac {1}{a}|-a=1$，得$\frac {1}{a}-a=1$，
从而$a-\frac {1}{a}=-1$。
$\because (a+\frac {1}{a})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}+4=(-1)^{2}+4=5$，
$\therefore a+\frac {1}{a}=\pm \sqrt {5}$。
$\because a＞0$，$\therefore |\frac {1}{a}|+a=a+\frac {1}{a}=\sqrt {5}$。
当$\frac {1}{a}＜0$，即$a＜0$时，由$|\frac {1}{a}|-a=1$，得$-\frac {1}{a}-a=1$，
从而$a+\frac {1}{a}=-1$。
而$(a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=(-1)^{2}-4=-3＜0$，
故舍去。
综上，$|\frac {1}{a}|+a$的值为$\sqrt {5}$。