1. 若 $ a_{1}=1-\frac{1}{m},a_{2}=1-\frac{1}{a_{1}},a_{3}=1-\frac{1}{a_{2}},··· $，照此规律，则 $ a_{2025} $ 的值为(
A.$ 1-\frac{1}{m} $
B.$ -\frac{1}{m - 1} $
C.$ m $
D.$ \frac{1}{m} $
C
)A.$ 1-\frac{1}{m} $
B.$ -\frac{1}{m - 1} $
C.$ m $
D.$ \frac{1}{m} $
答案：1. C 点拨：$\because a_{1}=1-\frac{1}{m}$，$a_{2}=1-\frac{1}{a_{1}}=1-\frac{1}{1-\frac{1}{m}}=1-\frac{m}{m - 1}=-\frac{1}{m - 1}$，$a_{3}=1-\frac{1}{a_{2}}=1-(1 - m)=m$，$a_{4}=1-\frac{1}{m}$，$···$，$\therefore a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，$···$，$a_{n}$的值是按$1-\frac{1}{m}$，$-\frac{1}{m - 1}$，$m$每三个一循环周期排列的，而$2025÷3 = 675$，$\therefore a_{2025}=a_{3}=m$。故选 C。
2. 观察下列等式：第 1 个等式：$ a_{1}=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}) $；第 2 个等式：$ a_{2}=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}) $；第 3 个等式：$ a_{3}=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) $；第 4 个等式：$ a_{4}=\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}) ··· ··· $ 则 $ a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+··· +a_{2025} $ 的值为
$\frac{2025}{4051}$
.答案：2. $\frac{2025}{4051}$ 点拨：$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+···+a_{2025}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\frac{1}{7×9}+···+\frac{1}{4049×4051}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+···+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4049}-\frac{1}{4051})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+···+\frac{1}{4049}-\frac{1}{4051})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{4051})=\frac{1}{2}×\frac{4050}{4051}=\frac{2025}{4051}$。
3. 计算：$ \frac{1}{x}-\frac{1}{x(x + 1)}-\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}-\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}-··· -\frac{1}{(x + 2024)(x + 2025)}= $
$\frac{1}{x + 2025}$
.答案：3. $\frac{1}{x + 2025}$ 点拨：原式$=\frac{1}{x}-(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1})-(\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2})-(\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 3})-···-(\frac{1}{x + 2024}-\frac{1}{x + 2025})=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 1}+\frac{1}{x + 2}-\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{x + 3}-···-\frac{1}{x + 2024}+\frac{1}{x + 2025}=\frac{1}{x + 2025}$。
4. 如果记 $ f(x)=\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} $，并且 $ f(1) $ 表示当 $ x = 1 $ 时 $ y $ 的值，即 $ f(1)=\frac{1^{2}}{1 + 1^{2}}=\frac{1}{2} $，$ f(\frac{1}{2}) $ 表示当 $ x=\frac{1}{2} $ 时 $ y $ 的值，即 $ f(\frac{1}{2})=\frac{(\frac{1}{2})^{2}}{1 + (\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{5} $.
(1)$ f(6)= $
(2)求 $ f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+··· +f(n + 1)+f(\frac{1}{n + 1}) $ 的值.(结果用含 $ n $ 的代数式表示，$ n $ 是正整数)
(1)$ f(6)= $
$\frac{36}{37}$
，$ f(\frac{1}{4})= $$\frac{1}{17}$
；(2)求 $ f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+··· +f(n + 1)+f(\frac{1}{n + 1}) $ 的值.(结果用含 $ n $ 的代数式表示，$ n $ 是正整数)
答案：4. (1) $\frac{36}{37}$ $\frac{1}{17}$ 点拨：$f(6)=\frac{6^{2}}{1 + 6^{2}}=\frac{36}{37}$，$f(\frac{1}{4})=\frac{(\frac{1}{4})^{2}}{1 + (\frac{1}{4})^{2}}=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{17}{16}}=\frac{1}{17}$。
(2) 解：$\because f(n)+f(\frac{1}{n})=\frac{n^{2}}{1 + n^{2}}+\frac{(\frac{1}{n})^{2}}{1 + (\frac{1}{n})^{2}}=\frac{n^{2}}{1 + n^{2}}+\frac{\frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}=1$，$\therefore$原式$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+···+[f(n + 1)+f(\frac{1}{n + 1})]=\frac{1}{2}+1× n=\frac{1}{2}+n$。
(2) 解：$\because f(n)+f(\frac{1}{n})=\frac{n^{2}}{1 + n^{2}}+\frac{(\frac{1}{n})^{2}}{1 + (\frac{1}{n})^{2}}=\frac{n^{2}}{1 + n^{2}}+\frac{\frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}=1$，$\therefore$原式$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+···+[f(n + 1)+f(\frac{1}{n + 1})]=\frac{1}{2}+1× n=\frac{1}{2}+n$。