新知梳理
1. 平行四边形的对角线
2. 平行四边形是
1. 平行四边形的对角线
互相平分
.2. 平行四边形是
中心对称
图形，对角线的交点是对称中心
.答案：新知梳理
1. 互相平分
2. 中心对称 对称中心
1. 互相平分
2. 中心对称 对称中心
1. 如图，在$□ ABCD$中，一定正确的是(
A.$AD = CD$
B.$AC = BD$
C.$AB = CD$
D.$CD = BC$
C
)A.$AD = CD$
B.$AC = BD$
C.$AB = CD$
D.$CD = BC$
答案：1. C
2. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$AB = 3\mathrm{\ cm}$，$BC = 5\mathrm{\ cm}$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，则$OA$长的取值范围是(
A.$1\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 4\mathrm{\ cm}$
B.$2\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 8\mathrm{\ cm}$
C.$2\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 5\mathrm{\ cm}$
D.$3\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 8\mathrm{\ cm}$
A
)A.$1\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 4\mathrm{\ cm}$
B.$2\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 8\mathrm{\ cm}$
C.$2\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 5\mathrm{\ cm}$
D.$3\mathrm{\ cm} ＜ OA ＜ 8\mathrm{\ cm}$
答案：2. A
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA = \frac{1}{2}AC$。
在$△ ABC$中，$AB = 3\mathrm{cm}$，$BC = 5\mathrm{cm}$，
根据三角形三边关系，$BC - AB ＜ AC ＜ AB + BC$，
即$5 - 3 ＜ AC ＜ 3 + 5$，$2\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 8\mathrm{cm}$。
∴$1\mathrm{cm} ＜ \frac{1}{2}AC ＜ 4\mathrm{cm}$，即$1\mathrm{cm} ＜ OA ＜ 4\mathrm{cm}$。
答案：A
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA = \frac{1}{2}AC$。
在$△ ABC$中，$AB = 3\mathrm{cm}$，$BC = 5\mathrm{cm}$，
根据三角形三边关系，$BC - AB ＜ AC ＜ AB + BC$，
即$5 - 3 ＜ AC ＜ 3 + 5$，$2\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 8\mathrm{cm}$。
∴$1\mathrm{cm} ＜ \frac{1}{2}AC ＜ 4\mathrm{cm}$，即$1\mathrm{cm} ＜ OA ＜ 4\mathrm{cm}$。
答案：A
3. (2025·玉门期末)如图，四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，若$AC + BD = 10$，则$OC + OD =$
5
.答案：3. 5
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴对角线$AC$与$BD$互相平分，即$OA = OC$，$OB = OD$。
∵$AC + BD = 10$，
∴$2OC + 2OD = 10$，
∴$OC + OD = 5$。
5
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴对角线$AC$与$BD$互相平分，即$OA = OC$，$OB = OD$。
∵$AC + BD = 10$，
∴$2OC + 2OD = 10$，
∴$OC + OD = 5$。
5
4. (2025·福田区期末)如图，平行四边形$ABCD$的面积为$7$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，线段$EF$经过点$O$，交$AD$于点$E$，交$BC$于点$F$，则阴影部分的面积为
$\frac{7}{4}$
.答案：4. $\frac{7}{4}$
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=\frac{7}{2}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$，$∠ OEA=∠ OFC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCF \\∠ OEA=∠ OFC \\OA=OC\end{cases}$，
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS})$，
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOE}+S_{△ BOF}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}=S_{△ BOC}$。
∵$O$是$AC$中点，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\frac{7}{2}=\frac{7}{4}$。
故阴影部分面积为$\frac{7}{4}$。
$\frac{7}{4}$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=\frac{7}{2}$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$，$∠ OEA=∠ OFC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCF \\∠ OEA=∠ OFC \\OA=OC\end{cases}$，
∴$△ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS})$，
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
∴阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOE}+S_{△ BOF}=S_{△ COF}+S_{△ BOF}=S_{△ BOC}$。
∵$O$是$AC$中点，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\frac{7}{2}=\frac{7}{4}$。
故阴影部分面积为$\frac{7}{4}$。
$\frac{7}{4}$
5. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$，$F$分别是$OA$，$OC$的中点，连接$BE$，$DF$.求证：$BE// DF$.
答案：5. 证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ $OB = OD$，$OA = OC$，
∴ $\frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OC$。
∵ E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ $OE = OF$。
在 $△ BOE$ 和 $△ DOF$ 中，$\{\begin{array}{l} OB = OD, \\ ∠ BOE = ∠ DOF, \\ OE = OF, \end{array} $
∴ $△ BOE ≌ △ DOF(SAS)$，
∴ $∠ OBE = ∠ ODF$，
∴ $BE // DF$。
∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ $OB = OD$，$OA = OC$，
∴ $\frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OC$。
∵ E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ $OE = OF$。
在 $△ BOE$ 和 $△ DOF$ 中，$\{\begin{array}{l} OB = OD, \\ ∠ BOE = ∠ DOF, \\ OE = OF, \end{array} $
∴ $△ BOE ≌ △ DOF(SAS)$，
∴ $∠ OBE = ∠ ODF$，
∴ $BE // DF$。