新知梳理
对角线
对角线
互相平分
的四边形是平行四边形.答案：互相平分
1. 在四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，下列条件中，不能判定四边形 $ABCD$ 为平行四边形的是(
A.$AB = CD$，$AD = BC$
B.$∠ BAD=∠ BCD$，$AB// CD$
C.$OA = OC$，$OB = OD$
D.$AD = BC$，$∠ ABC=∠ ADC$
D
)A.$AB = CD$，$AD = BC$
B.$∠ BAD=∠ BCD$，$AB// CD$
C.$OA = OC$，$OB = OD$
D.$AD = BC$，$∠ ABC=∠ ADC$
答案：1.D
2. 综合实践课上，嘉嘉画出$△ ABD$，利用尺规作图找一点 $C$，使得四边形 $ABCD$ 为平行四边形. 图①～③是其作图过程. 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形 $ABCD$ 为平行四边形的条件是(
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
C
)A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
答案：2.C
3. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$AB = 5$，若以 $A$，$B$，$C$，$P$ 四点为顶点组成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长为
14或16或18
.答案：3.14或16或18
解析：
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
情况一：以$AC$，$BC$为邻边，平行四边形周长为$2(AC + BC)=2×(3 + 4)=14$；
情况二：以$AC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(AC + AB)=2×(3 + 5)=16$；
情况三：以$BC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(BC + AB)=2×(4 + 5)=18$。
14或16或18
情况一：以$AC$，$BC$为邻边，平行四边形周长为$2(AC + BC)=2×(3 + 4)=14$；
情况二：以$AC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(AC + AB)=2×(3 + 5)=16$；
情况三：以$BC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(BC + AB)=2×(4 + 5)=18$。
14或16或18
4. 教材例题变式 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$ 是对角线 $BD$ 上的点，且 $BE = DF$，求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形.
答案：
4.证明:如答图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OB−BE=OD−DF,即OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
4.证明:如答图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OB−BE=OD−DF,即OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点. 试判断 $BE$ 与 $DF$ 的关系，并说明理由.
答案：
5.解:BE//DF且BE=DF.理由:如答图,连接DE,BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OA,OC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA,OF=$\frac{1}{2}$OC,
∴OE=OF.
又
∵OB=OD,
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF,BE=DF;
5.解:BE//DF且BE=DF.理由:如答图,连接DE,BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OA,OC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA,OF=$\frac{1}{2}$OC,
∴OE=OF.
又
∵OB=OD,
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF,BE=DF;