新知梳理
1. 有一个角是
2. 矩形是特殊的平行四边形,具有
3. 矩形具有自身特殊的性质:矩形的四个角都是
1. 有一个角是
直角
的平行四边形叫作矩形. 矩形也叫长方形
.2. 矩形是特殊的平行四边形,具有
平行四边形
的一切性质.3. 矩形具有自身特殊的性质:矩形的四个角都是
直角
,对角线相等
.答案：1. 直角 长方形
2. 平行四边形
3. 直角 相等
2. 平行四边形
3. 直角 相等
1. 矩形不一定具有的性质是(
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.是轴对称图形
B
)A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.是轴对称图形
答案：1. B
2. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,下列结论不一定成立的是(
A.$∠ ABC = 90^{\circ}$
B.$AC = BD$
C.$AB = CD$
D.$OA = AB$
D
)A.$∠ ABC = 90^{\circ}$
B.$AC = BD$
C.$AB = CD$
D.$OA = AB$
答案：2. D
3. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 $60^{\circ}$,对角线长为 $10$,则这个矩形的面积为(
A.$25$
B.$50$
C.$50\sqrt{3}$
D.$25\sqrt{3}$
D
)A.$25$
B.$50$
C.$50\sqrt{3}$
D.$25\sqrt{3}$
答案：3. D
解析：
设矩形为$ABCD$，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$∠ AOB = 60°$，$AC = BD = 10$。
因为矩形对角线相等且互相平分，所以$AO = BO=\frac{10}{2}=5$。
$△ AOB$中，$AO = BO$，$∠ AOB = 60°$，故$△ AOB$为等边三角形，所以$AB = AO = 5$。
在$Rt△ ABC$中，$AC = 10$，$AB = 5$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
矩形面积$S = AB × BC=5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$。
D
因为矩形对角线相等且互相平分，所以$AO = BO=\frac{10}{2}=5$。
$△ AOB$中，$AO = BO$，$∠ AOB = 60°$，故$△ AOB$为等边三角形，所以$AB = AO = 5$。
在$Rt△ ABC$中，$AC = 10$，$AB = 5$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
矩形面积$S = AB × BC=5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$。
D
4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,若 $∠ AOB = 60^{\circ}$,$BD = 8$,则 $DC$ 的长为
4
.答案：4. 4
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC = BD = 8$，$DC = AB$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA = OB = 4$，
∵$∠ AOB = 60^{\circ}$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$AB = OA = 4$，
∴$DC = AB = 4$。
4
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AC = BD = 8$，$DC = AB$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA = OB = 4$，
∵$∠ AOB = 60^{\circ}$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$AB = OA = 4$，
∴$DC = AB = 4$。
4
5. 在矩形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,如果 $∠ AOB = 40^{\circ}$,那么 $∠ ADB$ 的度数是
20°
.答案：5. 20°
6. 教材例题变式 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$DE ⊥ AC$ 于点 $E$. 若 $∠ AOD = 110^{\circ}$,求 $∠ CDE$ 的度数.
答案：6. 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD.
∵∠AOD=∠OCD+∠ODC=110°,
∴∠DCE=55°.
∵DE⊥AC,
∴∠CDE=90°−∠DCE=90°−55°=35°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD.
∵∠AOD=∠OCD+∠ODC=110°,
∴∠DCE=55°.
∵DE⊥AC,
∴∠CDE=90°−∠DCE=90°−55°=35°.