新知梳理
1. 有一组
2. 菱形是特殊的平行四边形,具有
3. 菱形具有自身特殊的性质:菱形的四条边
1. 有一组
邻边
相等的平行四边形叫作菱形.2. 菱形是特殊的平行四边形,具有
平行四边形
的一切性质.3. 菱形具有自身特殊的性质:菱形的四条边
相等
,对角线互相垂直
.答案：1.邻边 2.平行四边形 3.相等 垂直
1. 下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是(
A.内角和为 $ 360^{\circ} $
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
C
)A.内角和为 $ 360^{\circ} $
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
答案：1.C
2. 矩形和菱形都具有的性质是(
A.四条边都相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相平分
D
)A.四条边都相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案：2.D
3. 如图,对菱形 $ ABCD $ 的叙述正确的是(
A.$ AC = BD $
B.$ ∠ OAB = ∠ OBA $
C.$ AC ⊥ BD $
D.有 4 条对称轴
C
)A.$ AC = BD $
B.$ ∠ OAB = ∠ OBA $
C.$ AC ⊥ BD $
D.有 4 条对称轴
答案：3.C
解析：
证明：菱形的对角线互相垂直。
在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，根据菱形的性质，对角线互相垂直，即 $AC ⊥ BD$。
选项 A：菱形对角线不一定相等，故 A 错误；
选项 B：$∠ OAB$ 与 $∠ OBA$ 不一定相等，故 B 错误；
选项 C：$AC ⊥ BD$，正确；
选项 D：菱形有 2 条对称轴，故 D 错误。
结论：正确的是 C。
C
在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，根据菱形的性质，对角线互相垂直，即 $AC ⊥ BD$。
选项 A：菱形对角线不一定相等，故 A 错误；
选项 B：$∠ OAB$ 与 $∠ OBA$ 不一定相等，故 B 错误；
选项 C：$AC ⊥ BD$，正确；
选项 D：菱形有 2 条对称轴，故 D 错误。
结论：正确的是 C。
C
4. 在菱形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC = 8 $, $ BD = 6 $,则菱形的边长为
5
.答案：4.5
解析：
在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直平分。
因为 $AC = 8$，所以 $AO=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$；
因为 $BD = 6$，所以 $BO=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3$。
在 $Rt△ AOB$ 中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
故菱形的边长为 $5$。
因为 $AC = 8$，所以 $AO=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$；
因为 $BD = 6$，所以 $BO=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3$。
在 $Rt△ AOB$ 中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
故菱形的边长为 $5$。
5. 如图,在菱形 $ OABC $ 中,点 $ B $ 在 $ x $ 轴上,点 $ A $ 的坐标为 $ (3,5) $,则点 $ C $ 的坐标为
(3,-5)
.答案：5.(3,-5)
解析：
解：在菱形$OABC$中，$OA=AB=BC=CO$，且对角线$OB$与$AC$互相垂直平分。
因为点$B$在$x$轴上，设$O$为坐标原点$(0,0)$，点$A$的坐标为$(3,5)$。
由于对角线互相平分，所以$AC$的中点与$OB$的中点重合。设点$C$的坐标为$(x,y)$，则$AC$中点的横坐标为$\frac{3+x}{2}$，纵坐标为$\frac{5+y}{2}$。
因为$OB$在$x$轴上，其中点的纵坐标为$0$，所以$\frac{5+y}{2}=0$，解得$y=-5$。
又因为菱形的对边平行，$OA$与$BC$平行，$AB$与$OC$平行，且$OA$的横坐标为$3$，所以点$C$的横坐标与点$A$相同，即$x=3$。
故点$C$的坐标为$(3,-5)$。
$(3,-5)$
因为点$B$在$x$轴上，设$O$为坐标原点$(0,0)$，点$A$的坐标为$(3,5)$。
由于对角线互相平分，所以$AC$的中点与$OB$的中点重合。设点$C$的坐标为$(x,y)$，则$AC$中点的横坐标为$\frac{3+x}{2}$，纵坐标为$\frac{5+y}{2}$。
因为$OB$在$x$轴上，其中点的纵坐标为$0$，所以$\frac{5+y}{2}=0$，解得$y=-5$。
又因为菱形的对边平行，$OA$与$BC$平行，$AB$与$OC$平行，且$OA$的横坐标为$3$，所以点$C$的横坐标与点$A$相同，即$x=3$。
故点$C$的坐标为$(3,-5)$。
$(3,-5)$
6. 教材例题变式 如图,菱形 $ ABCD $ 的对角线交于点 $ O $, $ AC = 16 \mathrm{ cm} $, $ BD = 12 \mathrm{ cm} $. 求菱形 $ ABCD $ 的高.
答案：
6.解:如答图，过点D作DE⊥AB于点E,
则$ S_{菱形ABCD}=AB·DE.$
∵菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16 cm,BD=12 cm,
∴$AC⊥BD,OA=\frac{1}{2}AC=8 cm,OB=\frac{1}{2}BD=6 cm,$
∴$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(cm).$
又
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD,$
∴$10DE=\frac{1}{2}×16×12,$
∴DE=9.6 cm,
∴菱形ABCD的高为9.6 cm.
6.解:如答图，过点D作DE⊥AB于点E,
则$ S_{菱形ABCD}=AB·DE.$
∵菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16 cm,BD=12 cm,
∴$AC⊥BD,OA=\frac{1}{2}AC=8 cm,OB=\frac{1}{2}BD=6 cm,$
∴$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(cm).$
又
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD,$
∴$10DE=\frac{1}{2}×16×12,$
∴DE=9.6 cm,
∴菱形ABCD的高为9.6 cm.