新知梳理
菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的
(2)四边相等的
(3)对角线
菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的
平行四边形
是菱形；(2)四边相等的
四边形
是菱形；(3)对角线
互相垂直
的平行四边形是菱形.答案：(1)平行四边形 (2)四边形 (3)互相垂直
1. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$交于点$O$，下列判断不正确的是(
A.若$AB = BC$，则$□ ABCD$是菱形
B.若$AC⊥ BD$，则$□ ABCD$是菱形
C.若$AC$平分$∠ BAD$，则$□ ABCD$是菱形
D.若$AC = BD$，则$□ ABCD$是菱形
D
)A.若$AB = BC$，则$□ ABCD$是菱形
B.若$AC⊥ BD$，则$□ ABCD$是菱形
C.若$AC$平分$∠ BAD$，则$□ ABCD$是菱形
D.若$AC = BD$，则$□ ABCD$是菱形
答案：1. D
解析：
证明：
A. 在$□ABCD$中，$AB=BC$，根据菱形定义，邻边相等的平行四边形是菱形，故A正确；
B. 在$□ABCD$中，$AC⊥BD$，根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B正确；
C. 在$□ABCD$中，$AD// BC$，则$∠DAC=∠BCA$，又$AC$平分$∠BAD$，即$∠BAC=∠DAC$，所以$∠BAC=∠BCA$，可得$AB=BC$，邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；
D. 在$□ABCD$中，$AC=BD$，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形，故D不正确。
答案：D
A. 在$□ABCD$中，$AB=BC$，根据菱形定义，邻边相等的平行四边形是菱形，故A正确；
B. 在$□ABCD$中，$AC⊥BD$，根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B正确；
C. 在$□ABCD$中，$AD// BC$，则$∠DAC=∠BCA$，又$AC$平分$∠BAD$，即$∠BAC=∠DAC$，所以$∠BAC=∠BCA$，可得$AB=BC$，邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；
D. 在$□ABCD$中，$AC=BD$，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形，故D不正确。
答案：D
2. 下列命题是真命题的是(
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D
)A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
答案：2. D
3. 如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$AO = OC = 6\mathrm{cm}$，$BO = OD = 8\mathrm{cm}$，$AB = 10\mathrm{cm}$，四边形$ABCD$是菱形吗？请说明理由.
答案：3. 解:四边形 ABCD 是菱形,理由如下:
∵AO=OC=6 cm,BO=OD=8 cm,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AO=6 cm,BO=8 cm,AB=10 cm,
∴AO² + BO² = AB²,
∴∠AOB=90°,
∴四边形 ABCD 是菱形.
∵AO=OC=6 cm,BO=OD=8 cm,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AO=6 cm,BO=8 cm,AB=10 cm,
∴AO² + BO² = AB²,
∴∠AOB=90°,
∴四边形 ABCD 是菱形.
4. 教材例题变式 如图，在$□ ABCD$中，对角线$BD$的中垂线分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$，连接$BE$，$DF$. 求证：四边形$BEDF$是菱形.
答案：4. 证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO.
∵EF 垂直平分 BD 于点 O,
∴OB=OD,EF⊥BD,
∴△OBF≌△ODE(AAS),
∴OE=OF.
又
∵OB=OD,
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
又
∵EF⊥BD,
∴平行四边形 BEDF 是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO.
∵EF 垂直平分 BD 于点 O,
∴OB=OD,EF⊥BD,
∴△OBF≌△ODE(AAS),
∴OE=OF.
又
∵OB=OD,
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
又
∵EF⊥BD,
∴平行四边形 BEDF 是菱形.