新知梳理
1. 四条边
2. 正方形的判定方法：(1)有一组
3. 正方形的性质：(1)正方形的对边互相
1. 四条边
相等
，四个角都是直角
的四边形叫作正方形.2. 正方形的判定方法：(1)有一组
邻边
相等并且有一个角是直角
的平行四边形是正方形；(2)有一组邻边相等
的矩形是正方形；(3)有一个角是直角
的菱形是正方形.3. 正方形的性质：(1)正方形的对边互相
平行且相等
，邻边互相垂直且相等
；(2)正方形的四条边相等
，四个角都是直角
；(3)正方形的对角线相等
且互相垂直平分
.答案：1.相等 直角
2.(1)邻边 直角 (2)相等 (3)直角
3.(1)平行且相等 垂直且相等
(2)相等 直角
(3)相等 平分
2.(1)邻边 直角 (2)相等 (3)直角
3.(1)平行且相等 垂直且相等
(2)相等 直角
(3)相等 平分
1. 下列四边形中，对角线互相垂直平分的是(
A.平行四边形、菱形
B.矩形、菱形
C.矩形、正方形
D.菱形、正方形
D
)A.平行四边形、菱形
B.矩形、菱形
C.矩形、正方形
D.菱形、正方形
答案：1.D
2. 如图，在正方形$ABCD$的外侧，作等边$△ CDE$，连接$AE$，则$∠ DAE$的度数是(
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$12.5^{\circ}$
D.$10^{\circ}$
A
)A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$12.5^{\circ}$
D.$10^{\circ}$
答案：2.A
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD = CD$，$∠ ADC=90^{\circ}$，$∠ DAB = 90^{\circ}$。
∵$△ CDE$是等边三角形，
$\therefore CD=DE$，$∠ CDE = 60^{\circ}$。
$\therefore AD=DE$，$∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$。
在$△ ADE$中，$AD = DE$，
$\therefore ∠ DAE=\frac{180^{\circ}-∠ ADE}{2}=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}$。
答案：A
∵四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD = CD$，$∠ ADC=90^{\circ}$，$∠ DAB = 90^{\circ}$。
∵$△ CDE$是等边三角形，
$\therefore CD=DE$，$∠ CDE = 60^{\circ}$。
$\therefore AD=DE$，$∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$。
在$△ ADE$中，$AD = DE$，
$\therefore ∠ DAE=\frac{180^{\circ}-∠ ADE}{2}=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}$。
答案：A
3. 在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ B=∠ C = 90^{\circ}$，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是(
A.$BC = CD$
B.$AB = CD$
C.$∠ D = 90^{\circ}$
D.$AD = BC$
A
)A.$BC = CD$
B.$AB = CD$
C.$∠ D = 90^{\circ}$
D.$AD = BC$
答案：3.A
4. 如图，直线$l$过正方形$ABCD$的顶点$B$，点$A$，$C$到直线$l$的距离$AE$，$CF$分别是$1\ cm$，$2\ cm$，则线段$EF$的长为
3
$cm$.答案：4.3
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = BC$，$∠ ABC=90°$。
$\because AE⊥ l$，$CF⊥ l$，
$\therefore ∠ AEB=∠ CFB = 90°$，
$∠ EAB+∠ ABE=90°$。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ ABE+∠ CBF=90°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ CBF$。
在$△ AEB$和$△ BFC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAB=∠ CBF\\∠ AEB=∠ BFC\\AB = BC\end{array} $，
$\therefore △ AEB≌△ BFC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=BF = 1\ \mathrm{cm}$，$BE=CF = 2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=BE + BF=2 + 1=3\ \mathrm{cm}$。
3
∵四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = BC$，$∠ ABC=90°$。
$\because AE⊥ l$，$CF⊥ l$，
$\therefore ∠ AEB=∠ CFB = 90°$，
$∠ EAB+∠ ABE=90°$。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ ABE+∠ CBF=90°$，
$\therefore ∠ EAB=∠ CBF$。
在$△ AEB$和$△ BFC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAB=∠ CBF\\∠ AEB=∠ BFC\\AB = BC\end{array} $，
$\therefore △ AEB≌△ BFC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=BF = 1\ \mathrm{cm}$，$BE=CF = 2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=BE + BF=2 + 1=3\ \mathrm{cm}$。
3
5. 教材例题变式如图，$E$，$F$，$M$，$N$分别是正方形$ABCD$四条边上的点，且$AE = BF = CM = DN$，$AB = 7$，$AE = 3$.试判断四边形$EFMN$的形状并求其周长.
答案：5.解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.
∵AE=BF=CM=DN,
∴BE=CF=DM=AN,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM(SAS),
∴NE=EF=FM=MN,∠1=∠3,
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠NEF=90°,
∴菱形EFMN是正方形.
∵AB=7,AE=3,
∴BE=4=AN,
∴$EN=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,$
∴四边形EFMN的周长为4×5=20.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.
∵AE=BF=CM=DN,
∴BE=CF=DM=AN,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM(SAS),
∴NE=EF=FM=MN,∠1=∠3,
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠NEF=90°,
∴菱形EFMN是正方形.
∵AB=7,AE=3,
∴BE=4=AN,
∴$EN=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,$
∴四边形EFMN的周长为4×5=20.