新知梳理
1. 根据分式的
2. 如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数(都是整数时)的
1. 根据分式的
基本性质
，把几个异分母的分式变形成同分母
的分式，叫作分式的通分.2. 如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数(都是整数时)的
最小公倍数
与所有字母的最高次幂
的积叫作这几个分式的最简公分母.答案：1. 基本性质 同分母
2. 最小公倍数 最高次幂
2. 最小公倍数 最高次幂
1. 分式$\frac{1}{2a^{2}b}$与$\frac{1}{ab^{2}}$的最简公分母是(
A.$ab$
B.$2a^{2}b^{2}$
C.$a^{2}b^{2}$
D.$2a^{3}b^{3}$
B
)A.$ab$
B.$2a^{2}b^{2}$
C.$a^{2}b^{2}$
D.$2a^{3}b^{3}$
答案：1. B
2. 分式$\frac{3}{a - b}$经过通分后分母变为$a^{2}-b^{2}$，那么分子应变为(
A.$3(a - b)$
B.$3(a - b)^{2}$
C.$3(a + b)$
D.$3(a^{2}-b^{2})$
C
)A.$3(a - b)$
B.$3(a - b)^{2}$
C.$3(a + b)$
D.$3(a^{2}-b^{2})$
答案：2. C
解析：
因为$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，原分式分母为$a - b$，通分后分母变为$(a - b)(a + b)$，即分母乘了$(a + b)$，根据分式的基本性质，分子也应乘$(a + b)$，所以分子变为$3(a + b)$。
C
C
3. 分式$\frac{2}{x^{2}-4}$和$\frac{x}{4 - 2x}$的最简公分母是(
A.$(x^{2}-4)(4 - 2x)$
B.$(x + 2)(x - 2)$
C.$-2(x + 2)(x - 2)^{2}$
D.$2(x + 2)(x - 2)$
D
)A.$(x^{2}-4)(4 - 2x)$
B.$(x + 2)(x - 2)$
C.$-2(x + 2)(x - 2)^{2}$
D.$2(x + 2)(x - 2)$
答案：3. D
解析：
要确定分式$\frac{2}{x^{2}-4}$和$\frac{x}{4 - 2x}$的最简公分母，需先对两个分式的分母进行因式分解：
1. 对于分母$x^{2}-4$，利用平方差公式分解可得：$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$。
2. 对于分母$4 - 2x$，先提取公因式$-2$，得到：$4 - 2x=-2(x - 2)$。
最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积。分析上述因式分解结果，各因式为$2$、$(x + 2)$、$(x - 2)$，它们的最高次幂均为$1$，所以最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)$。
D
1. 对于分母$x^{2}-4$，利用平方差公式分解可得：$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$。
2. 对于分母$4 - 2x$，先提取公因式$-2$，得到：$4 - 2x=-2(x - 2)$。
最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积。分析上述因式分解结果，各因式为$2$、$(x + 2)$、$(x - 2)$，它们的最高次幂均为$1$，所以最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)$。
D
4. 将$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$通分后，它们分别是
$\frac{ab}{3ab}$
，$\frac{3b}{3ab}$
，$\frac{3a}{3ab}$
.答案：4. $\frac{ab}{3ab}$ $\frac{3b}{3ab}$ $\frac{3a}{3ab}$
5. 将分式$\frac{2}{3x^{2}y}$，$\frac{3x}{2ay^{2}}$，$\frac{y}{4a^{2}x}$通分，分母所乘的单项式依次为
$4a^{2}y$
，$6ax^{2}$
，$3xy^{2}$
.答案：5. $4a^{2}y$ $6ax^{2}$ $3xy^{2}$
6. 分式$\frac{x}{1 - a}$，$\frac{y}{(a - 1)^{2}}$，$\frac{z}{(1 - a)^{3}}$的最简公分母为
$(1 - a)^{3}$
.答案：6. $(1 - a)^{3}$
7. 将下列各分式通分：
(1)$\frac{1}{3ab^{2}}$和$\frac{2}{7a^{2}b}$；
(2)$\frac{x + 1}{x^{2}-x}$和$\frac{x - 1}{x^{2}+x}$；
(3)$\frac{x + 2}{2x + 2}$，$\frac{x}{x^{2}-x - 2}$和$\frac{3}{8 - 4x}$.
(1)$\frac{1}{3ab^{2}}$和$\frac{2}{7a^{2}b}$；
(2)$\frac{x + 1}{x^{2}-x}$和$\frac{x - 1}{x^{2}+x}$；
(3)$\frac{x + 2}{2x + 2}$，$\frac{x}{x^{2}-x - 2}$和$\frac{3}{8 - 4x}$.
答案：7. 解：(1)
∵最简公分母为 $21a^{2}b^{2}$，
∴$\frac{1}{3ab^{2}}=\frac{1·7a}{3ab^{2}·7a}=\frac{7a}{21a^{2}b^{2}}$，$\frac{2}{7a^{2}b}=\frac{2·3b}{7a^{2}b·3b}=\frac{6b}{21a^{2}b^{2}}$。
(2)
∵最简公分母为 $x(x + 1)(x - 1)$，
∴$\frac{x + 1}{x^{2}-x}=\frac{(x + 1)^{2}}{x(x - 1)(x + 1)}$，$\frac{x - 1}{x^{2}+x}=\frac{(x - 1)^{2}}{x(x + 1)(x - 1)}$。
(3)
∵最简公分母为 $4(x + 1)(x - 2)$，
∴$\frac{x + 2}{2x + 2}=\frac{2(x + 2)(x - 2)}{4(x + 1)(x - 2)}$，$\frac{x}{x^{2}-x - 2}=\frac{4x}{4(x + 1)(x - 2)}$，
$\frac{3}{8 - 4x}=-\frac{3(x + 1)}{4(x + 1)(x - 2)}$。
∵最简公分母为 $21a^{2}b^{2}$，
∴$\frac{1}{3ab^{2}}=\frac{1·7a}{3ab^{2}·7a}=\frac{7a}{21a^{2}b^{2}}$，$\frac{2}{7a^{2}b}=\frac{2·3b}{7a^{2}b·3b}=\frac{6b}{21a^{2}b^{2}}$。
(2)
∵最简公分母为 $x(x + 1)(x - 1)$，
∴$\frac{x + 1}{x^{2}-x}=\frac{(x + 1)^{2}}{x(x - 1)(x + 1)}$，$\frac{x - 1}{x^{2}+x}=\frac{(x - 1)^{2}}{x(x + 1)(x - 1)}$。
(3)
∵最简公分母为 $4(x + 1)(x - 2)$，
∴$\frac{x + 2}{2x + 2}=\frac{2(x + 2)(x - 2)}{4(x + 1)(x - 2)}$，$\frac{x}{x^{2}-x - 2}=\frac{4x}{4(x + 1)(x - 2)}$，
$\frac{3}{8 - 4x}=-\frac{3(x + 1)}{4(x + 1)(x - 2)}$。