新知梳理
1. 同分母的分式相加减，
2. 异分母的分式相加减，先
3. 当分式加减运算的结果仍是一个分式时，应考虑分子、分母是否可以
1. 同分母的分式相加减，
分母
不变，把分子
相加减. 用符号表示为：$\frac{b}{a} \pm \frac{c}{a} =$$\frac{b\pm c}{a}$
.2. 异分母的分式相加减，先
通分
，再加减. 用符号表示为：$\frac{b}{a} \pm \frac{c}{d} =$$\frac{bd\pm ac}{ad}$
.3. 当分式加减运算的结果仍是一个分式时，应考虑分子、分母是否可以
约分
，从而化为最简分式或整式.答案：1. 分母 分子 $\frac{b\pm c}{a}$
2. 通分 $\frac{bd\pm ac}{ad}$ 3. 约分
2. 通分 $\frac{bd\pm ac}{ad}$ 3. 约分
1. 计算$\frac{6}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$的结果为
$\frac{5}{x - 1}$
.答案：1. $\frac{5}{x - 1}$
解析：
$\frac{6}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{6 - 1}{x - 1} = \frac{5}{x - 1}$
2. 化简$\frac{a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2}}{b - a}$的正确结果是
$a + b$
.答案：2. $a + b$
解析：
$\frac{a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2}}{b - a}$
$=\frac{a^{2}}{a - b} - \frac{b^{2}}{a - b}$
$=\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$
$=a + b$
$=\frac{a^{2}}{a - b} - \frac{b^{2}}{a - b}$
$=\frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$
$=a + b$
3. 若$4xy = x - y ≠ 0$，则分式$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$的值为
$-4$
.答案：3. $-4$
解析：
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy} = -\frac{x - y}{xy}$，因为$4xy = x - y$，所以$\frac{x - y}{xy} = 4$，则$-\frac{x - y}{xy} = -4$，故答案为$-4$。
4. 某学生化简分式$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$出现了错误，解答过程如下：
原式$= \frac{1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2}{(x + 1)(x - 1)}$(第一步)
$= \frac{1 + 2}{(x + 1)(x - 1)}$(第二步)
$= \frac{3}{x^{2} - 1}$.(第三步)
该学生的解答过程是从第
原式$= \frac{1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2}{(x + 1)(x - 1)}$(第一步)
$= \frac{1 + 2}{(x + 1)(x - 1)}$(第二步)
$= \frac{3}{x^{2} - 1}$.(第三步)
该学生的解答过程是从第
一
步开始出错的，其错误原因是第一个分式的分子没有乘$(x - 1)$
.答案：4. 一 第一个分式的分子没有乘$(x - 1)$
5. 计算：
(1)$\frac{y}{x - y} - \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$；
(2)$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4x}{x^{2} - 1}$；
(3)$\frac{4}{x - 5} + 1$；
(4)$\frac{x^{2}}{x - 2} - x - 2$.
(1)$\frac{y}{x - y} - \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$；
(2)$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4x}{x^{2} - 1}$；
(3)$\frac{4}{x - 5} + 1$；
(4)$\frac{x^{2}}{x - 2} - x - 2$.
答案：5. 解：（1）原式$=\frac{y(x + y)}{x^{2}-y^{2}}-\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}=\frac{y^{2}-xy}{x^{2}-y^{2}}=\frac{y(y - x)}{(x - y)(x + y)}=-\frac{y}{x + y}$
（2）原式$=\frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}-\frac{4x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 1}{x + 1}$
（3）原式$=\frac{4}{x - 5}+\frac{x - 5}{x - 5}=\frac{x - 1}{x - 5}$
（4）原式$=\frac{x^{2}}{x - 2}-(x + 2)=\frac{x^{2}}{x - 2}-\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}=\frac{4}{x - 2}$
（2）原式$=\frac{(x + 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}-\frac{4x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 1}{x + 1}$
（3）原式$=\frac{4}{x - 5}+\frac{x - 5}{x - 5}=\frac{x - 1}{x - 5}$
（4）原式$=\frac{x^{2}}{x - 2}-(x + 2)=\frac{x^{2}}{x - 2}-\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}=\frac{4}{x - 2}$