新知梳理
1. 由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行
2. 解分式方程产生增根的原因是在去分母时，方程两边同乘了一个值为
1. 由于在分式方程两边乘各分式的最简公分母时可能产生增根，因此解分式方程必须进行
检验
.2. 解分式方程产生增根的原因是在去分母时，方程两边同乘了一个值为
0
的最简公分母.答案：1. 检验 2. 0
1. 若关于$x$的分式方程$\frac{2x + m}{x - 3}=1$有增根，则$m$的值为(
A.$-6$
B.$5$
C.$6$
D.$4$
A
)A.$-6$
B.$5$
C.$6$
D.$4$
答案：1. A
解析：
解：方程两边同乘$x - 3$，得$2x + m = x - 3$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$2x + m = x - 3$，得$2×3 + m = 3 - 3$，解得$m = -6$。
A
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$2x + m = x - 3$，得$2×3 + m = 3 - 3$，解得$m = -6$。
A
2. 若关于$x$的方程$\frac{3x - 2}{x + 1}=\frac{m}{x + 1}+2$无解，则$m$的值为
-5
.答案：2. -5
解析：
方程两边同乘$x + 1$，得$3x - 2 = m + 2(x + 1)$。
化简得$3x - 2 = m + 2x + 2$，解得$x = m + 4$。
因为原方程无解，所以$x + 1 = 0$，即$x = -1$。
则$m + 4 = -1$，解得$m = -5$。
-5
化简得$3x - 2 = m + 2x + 2$，解得$x = m + 4$。
因为原方程无解，所以$x + 1 = 0$，即$x = -1$。
则$m + 4 = -1$，解得$m = -5$。
-5
3. 若关于$x$的方程$\frac{2x + a}{x + 2}=-1$的解是负数，则$a$的取值范围是
$ a ＞ - 2 $且$ a ≠ 4 $
.答案：3. $ a ＞ - 2 $且$ a ≠ 4 $
解析：
解：方程两边同乘$x + 2$，得$2x + a = - (x + 2)$，
解得$x = \frac{ - a - 2}{3}$。
因为方程的解是负数，所以$\frac{ - a - 2}{3} ＜ 0$，解得$a ＞ - 2$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 2 ≠ 0$，所以$\frac{ - a - 2}{3} + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 4$。
综上，$a$的取值范围是$a ＞ - 2$且$a ≠ 4$。
解得$x = \frac{ - a - 2}{3}$。
因为方程的解是负数，所以$\frac{ - a - 2}{3} ＜ 0$，解得$a ＞ - 2$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 2 ≠ 0$，所以$\frac{ - a - 2}{3} + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 4$。
综上，$a$的取值范围是$a ＞ - 2$且$a ≠ 4$。
4. 解下列分式方程：
(1) $\frac{1 + x}{2 - x}-3=\frac{1}{x - 2}$；
(2) $\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3x}{4x - 4}$；
(3) $\frac{x}{x - 2}-\frac{1 - x}{x^{2}-4}=1$；
(4) $\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$；
(5) $\frac{x - 1}{x + 3}-2=\frac{x}{3 - x}$；
(6) $\frac{2}{3}+\frac{x}{3x - 1}=\frac{1}{9x - 3}$.
(1) $\frac{1 + x}{2 - x}-3=\frac{1}{x - 2}$；
(2) $\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3x}{4x - 4}$；
(3) $\frac{x}{x - 2}-\frac{1 - x}{x^{2}-4}=1$；
(4) $\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$；
(5) $\frac{x - 1}{x + 3}-2=\frac{x}{3 - x}$；
(6) $\frac{2}{3}+\frac{x}{3x - 1}=\frac{1}{9x - 3}$.
答案：4. 解：(1) 方程两边同乘$ x - 2 $，得$ - 1 - x - 3x + 6 = 1 $，
解这个方程，得$ x = 1 $。
检验：当$ x = 1 $时，$ x - 2 ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = 1 $。
(2) 方程两边同乘$ 4 ( x - 4 ) $，得$ 4x - 4x + 4 = 3x $，
解这个方程，得$ x = \frac { 4 } { 3 } $。
检验：当$ x = \frac { 4 } { 3 } $时，$ 4x - 4 ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = \frac { 4 } { 3 } $。
(3) 方程两边同乘$ x ^ { 2 } - 4 $，得$ x ^ { 2 } + 2x - 1 + x = x ^ { 2 } - 4 $，
解这个方程，得$ x = - 1 $。
检验：当$ x = - 1 $时，$ x ^ { 2 } - 4 ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = - 1 $。
(4) 方程两边同乘$ ( x - 1 ) ( x + 2 ) $，
得$ x ^ { 2 } + 2x - x ^ { 2 } - x + 2 = 3 $，
解这个方程，得$ x = 1 $。
检验：当$ x = 1 $时，$ ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0 $，$ x = 1 $是增根。
∴原方程无解。
(5) 方程两边同乘$ ( x + 3 ) ( x - 3 ) $，得
$ ( x - 1 ) ( x - 3 ) - 2 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = - x ( x + 3 ) $，
解这个方程，得$ x = 21 $。
检验：当$ x = 21 $时，$ ( x + 3 ) ( x - 3 ) ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = 21 $。
(6) 方程两边同乘$ 3 ( 3x - 1 ) $，得$ 6x - 2 + 3x = 1 $，
解这个方程，得$ x = \frac { 1 } { 3 } $。
检验：当$ x = \frac { 1 } { 3 } $时，$ 3 ( 3x - 1 ) = 0 $，$ x = \frac { 1 } { 3 } $是增根。
∴原方程无解。
解这个方程，得$ x = 1 $。
检验：当$ x = 1 $时，$ x - 2 ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = 1 $。
(2) 方程两边同乘$ 4 ( x - 4 ) $，得$ 4x - 4x + 4 = 3x $，
解这个方程，得$ x = \frac { 4 } { 3 } $。
检验：当$ x = \frac { 4 } { 3 } $时，$ 4x - 4 ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = \frac { 4 } { 3 } $。
(3) 方程两边同乘$ x ^ { 2 } - 4 $，得$ x ^ { 2 } + 2x - 1 + x = x ^ { 2 } - 4 $，
解这个方程，得$ x = - 1 $。
检验：当$ x = - 1 $时，$ x ^ { 2 } - 4 ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = - 1 $。
(4) 方程两边同乘$ ( x - 1 ) ( x + 2 ) $，
得$ x ^ { 2 } + 2x - x ^ { 2 } - x + 2 = 3 $，
解这个方程，得$ x = 1 $。
检验：当$ x = 1 $时，$ ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0 $，$ x = 1 $是增根。
∴原方程无解。
(5) 方程两边同乘$ ( x + 3 ) ( x - 3 ) $，得
$ ( x - 1 ) ( x - 3 ) - 2 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = - x ( x + 3 ) $，
解这个方程，得$ x = 21 $。
检验：当$ x = 21 $时，$ ( x + 3 ) ( x - 3 ) ≠ 0 $。
∴原方程的解是$ x = 21 $。
(6) 方程两边同乘$ 3 ( 3x - 1 ) $，得$ 6x - 2 + 3x = 1 $，
解这个方程，得$ x = \frac { 1 } { 3 } $。
检验：当$ x = \frac { 1 } { 3 } $时，$ 3 ( 3x - 1 ) = 0 $，$ x = \frac { 1 } { 3 } $是增根。
∴原方程无解。