新知梳理
1. 一般地，我们把形如$\sqrt{a}$($a$
2. $\sqrt{a}$($a$
1. 一般地，我们把形如$\sqrt{a}$($a$
≥0
)的式子叫作二次根式，$a$叫作被开方数.2. $\sqrt{a}$($a$
≥0
)是$a$的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知：当$a$≥0
时，$(\sqrt{a})^{2}=$a
.答案：1.≥0 2.≥0 ≥0 a
解析：
1. $≥0$
2. $≥0$；$≥0$；$a$
2. $≥0$；$≥0$；$a$
1. 已知$\sqrt{18 - x}$是整数，自然数$x$的最小值为
2
.答案：1.2
解析：
要使$\sqrt{18 - x}$是整数，设$\sqrt{18 - x} = k$（$k$为非负整数），则$18 - x = k^2$，即$x = 18 - k^2$。
因为$x$是自然数，所以$x ≥ 0$，即$18 - k^2 ≥ 0$，$k^2 ≤ 18$。
$k$为非负整数，$k$的可能取值为$0,1,2,3,4$（$4^2 = 16 ≤ 18$，$5^2 = 25 ＞ 18$）。
当$k = 4$时，$x = 18 - 4^2 = 18 - 16 = 2$；
当$k = 3$时，$x = 18 - 9 = 9$；
当$k = 2$时，$x = 18 - 4 = 14$；
当$k = 1$时，$x = 18 - 1 = 17$；
当$k = 0$时，$x = 18 - 0 = 18$。
比较可得，自然数$x$的最小值为$2$。
2
因为$x$是自然数，所以$x ≥ 0$，即$18 - k^2 ≥ 0$，$k^2 ≤ 18$。
$k$为非负整数，$k$的可能取值为$0,1,2,3,4$（$4^2 = 16 ≤ 18$，$5^2 = 25 ＞ 18$）。
当$k = 4$时，$x = 18 - 4^2 = 18 - 16 = 2$；
当$k = 3$时，$x = 18 - 9 = 9$；
当$k = 2$时，$x = 18 - 4 = 14$；
当$k = 1$时，$x = 18 - 1 = 17$；
当$k = 0$时，$x = 18 - 0 = 18$。
比较可得，自然数$x$的最小值为$2$。
2
2. 计算：$(-\sqrt{3})^{2}=$
3
.答案：2.3
解析：
$(-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$
3. $x$取何值时，下列各式有意义？
(1)$\sqrt{x - 1}$； (2)$\sqrt{x + 5}$； (3)$\sqrt{9 - x}$； (4)$\sqrt{-4x}$；
(5)$\sqrt{\frac{x}{2} - 3}$； (6)$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$； (7)$\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$； (8)$\frac{\sqrt{x - 1}}{x + 2}$.
(1)$\sqrt{x - 1}$； (2)$\sqrt{x + 5}$； (3)$\sqrt{9 - x}$； (4)$\sqrt{-4x}$；
(5)$\sqrt{\frac{x}{2} - 3}$； (6)$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$； (7)$\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$； (8)$\frac{\sqrt{x - 1}}{x + 2}$.
答案：3.(1)x≥1 (2)x≥-5 (3)x≤9 (4)x≤0 (5)x≥6 (6)x＜1 (7)x＜4 (8)x≥1
解析：
(1)要使$\sqrt{x - 1}$有意义，则$x - 1 ≥ 0$，解得$x ≥ 1$。
(2)要使$\sqrt{x + 5}$有意义，则$x + 5 ≥ 0$，解得$x ≥ -5$。
(3)要使$\sqrt{9 - x}$有意义，则$9 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 9$。
(4)要使$\sqrt{-4x}$有意义，则$-4x ≥ 0$，解得$x ≤ 0$。
(5)要使$\sqrt{\frac{x}{2} - 3}$有意义，则$\frac{x}{2} - 3 ≥ 0$，$\frac{x}{2} ≥ 3$，解得$x ≥ 6$。
(6)要使$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$有意义，则$\sqrt{1 - x}$有意义且$\sqrt{1 - x} ≠ 0$，即$1 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 1$。
(7)要使$\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$有意义，则$\sqrt{4 - x}$有意义且$\sqrt{4 - x} ≠ 0$，即$4 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 4$。
(8)要使$\frac{\sqrt{x - 1}}{x + 2}$有意义，则$\sqrt{x - 1}$有意义且$x + 2 ≠ 0$，即$x - 1 ≥ 0$且$x ≠ -2$，解得$x ≥ 1$。
(2)要使$\sqrt{x + 5}$有意义，则$x + 5 ≥ 0$，解得$x ≥ -5$。
(3)要使$\sqrt{9 - x}$有意义，则$9 - x ≥ 0$，解得$x ≤ 9$。
(4)要使$\sqrt{-4x}$有意义，则$-4x ≥ 0$，解得$x ≤ 0$。
(5)要使$\sqrt{\frac{x}{2} - 3}$有意义，则$\frac{x}{2} - 3 ≥ 0$，$\frac{x}{2} ≥ 3$，解得$x ≥ 6$。
(6)要使$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$有意义，则$\sqrt{1 - x}$有意义且$\sqrt{1 - x} ≠ 0$，即$1 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 1$。
(7)要使$\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$有意义，则$\sqrt{4 - x}$有意义且$\sqrt{4 - x} ≠ 0$，即$4 - x ＞ 0$，解得$x ＜ 4$。
(8)要使$\frac{\sqrt{x - 1}}{x + 2}$有意义，则$\sqrt{x - 1}$有意义且$x + 2 ≠ 0$，即$x - 1 ≥ 0$且$x ≠ -2$，解得$x ≥ 1$。
4. 计算：
(1)$(\sqrt{3})^{2}$； (2)$(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$； (3)$(\sqrt{\frac{3}{5}})^{2}$；
(4)$(\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{3})^{2}$； (5)$(-2×\sqrt{3})^{2}$； (6)$(\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{2}$.
(1)$(\sqrt{3})^{2}$； (2)$(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$； (3)$(\sqrt{\frac{3}{5}})^{2}$；
(4)$(\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{3})^{2}$； (5)$(-2×\sqrt{3})^{2}$； (6)$(\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{2}$.
答案：4.(1)3 (2)$\frac{3}{4}$ (3)$\frac{3}{5}$ (4)8 (5)12 (6)x²+y²
解析：
(1)$(\sqrt{3})^{2}=3$；
(2)$(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{2^{2}}=\frac{3}{4}$；
(3)$(\sqrt{\frac{3}{5}})^{2}=\frac{3}{5}$；
(4)$(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=5 + 3=8$；
(5)$(-2×\sqrt{3})^{2}=(-2)^{2}×(\sqrt{3})^{2}=4×3=12$；
(6)$(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=x^{2}+y^{2}$
(2)$(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{2^{2}}=\frac{3}{4}$；
(3)$(\sqrt{\frac{3}{5}})^{2}=\frac{3}{5}$；
(4)$(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=5 + 3=8$；
(5)$(-2×\sqrt{3})^{2}=(-2)^{2}×(\sqrt{3})^{2}=4×3=12$；
(6)$(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=x^{2}+y^{2}$