新知梳理
对于被开方式是多项式的二次根式,化简时,往往先
对于被开方式是多项式的二次根式,化简时,往往先
因式分解
，再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果.答案：因式分解
1. 计算$\sqrt{15}×\sqrt{6}$的结果是(
A.3
B.$\sqrt{21}$
C.$9\sqrt{10}$
D.$3\sqrt{10}$
D
)A.3
B.$\sqrt{21}$
C.$9\sqrt{10}$
D.$3\sqrt{10}$
答案：1. D
解析：
$\sqrt{15} × \sqrt{6} = \sqrt{15 × 6} = \sqrt{90} = \sqrt{9 × 10} = 3\sqrt{10}$，结果是D。
2. 化简：$\sqrt{48} = $
$ 4\sqrt{3} $
.答案：2. $ 4\sqrt{3} $
3. 若矩形的长和宽分别是 20 cm,10 cm,则这个矩形的对角线的长为
$ 10\sqrt{5} $
cm.答案：3. $ 10\sqrt{5} $
4. 计算：
(1) $\sqrt{6}×\sqrt{60}$；
(2) $2\sqrt{5}×3\sqrt{15}$；
(3) $\sqrt{144}×3\sqrt{\dfrac{1}{8}}$；
(4) $3\sqrt{6}×4\sqrt{\dfrac{9}{2}}$；
(5) $4\sqrt{xy}×\sqrt{\dfrac{1}{y}}$；
(6) $3\sqrt{5a}×2\sqrt{10b}$.
(1) $\sqrt{6}×\sqrt{60}$；
(2) $2\sqrt{5}×3\sqrt{15}$；
(3) $\sqrt{144}×3\sqrt{\dfrac{1}{8}}$；
(4) $3\sqrt{6}×4\sqrt{\dfrac{9}{2}}$；
(5) $4\sqrt{xy}×\sqrt{\dfrac{1}{y}}$；
(6) $3\sqrt{5a}×2\sqrt{10b}$.
答案：4. (1) $ 6\sqrt{10} $ (2) $ 30\sqrt{3} $ (3) $ 9\sqrt{2} $ (4) $ 36\sqrt{3} $ (5) $ 4\sqrt{x} $ (6) $ 30\sqrt{2ab} $
解析：
(1) $\sqrt{6}×\sqrt{60}=\sqrt{6×60}=\sqrt{360}=\sqrt{36×10}=6\sqrt{10}$；
(2) $2\sqrt{5}×3\sqrt{15}=2×3×\sqrt{5×15}=6×\sqrt{75}=6×5\sqrt{3}=30\sqrt{3}$；
(3) $\sqrt{144}×3\sqrt{\dfrac{1}{8}}=12×3×\sqrt{\dfrac{1}{8}}=36×\dfrac{\sqrt{2}}{4}=9\sqrt{2}$；
(4) $3\sqrt{6}×4\sqrt{\dfrac{9}{2}}=3×4×\sqrt{6×\dfrac{9}{2}}=12×\sqrt{27}=12×3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$；
(5) $4\sqrt{xy}×\sqrt{\dfrac{1}{y}}=4×\sqrt{xy×\dfrac{1}{y}}=4\sqrt{x}$；
(6) $3\sqrt{5a}×2\sqrt{10b}=3×2×\sqrt{5a×10b}=6×\sqrt{50ab}=6×5\sqrt{2ab}=30\sqrt{2ab}$.
(2) $2\sqrt{5}×3\sqrt{15}=2×3×\sqrt{5×15}=6×\sqrt{75}=6×5\sqrt{3}=30\sqrt{3}$；
(3) $\sqrt{144}×3\sqrt{\dfrac{1}{8}}=12×3×\sqrt{\dfrac{1}{8}}=36×\dfrac{\sqrt{2}}{4}=9\sqrt{2}$；
(4) $3\sqrt{6}×4\sqrt{\dfrac{9}{2}}=3×4×\sqrt{6×\dfrac{9}{2}}=12×\sqrt{27}=12×3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$；
(5) $4\sqrt{xy}×\sqrt{\dfrac{1}{y}}=4×\sqrt{xy×\dfrac{1}{y}}=4\sqrt{x}$；
(6) $3\sqrt{5a}×2\sqrt{10b}=3×2×\sqrt{5a×10b}=6×\sqrt{50ab}=6×5\sqrt{2ab}=30\sqrt{2ab}$.
5. 化简：
(1) $\sqrt{(x + 2y)^2(x - y)^2}(0 ＜ x ＜ y)$；
(2) $\sqrt{125y^2z^3×25y^3z^2}$；
(3) $\sqrt{a^5 + 2a^3b^2 + ab^4}$；
(4) $\sqrt{16a^3 + 32a^2}(a ＞ 0)$.
(1) $\sqrt{(x + 2y)^2(x - y)^2}(0 ＜ x ＜ y)$；
(2) $\sqrt{125y^2z^3×25y^3z^2}$；
(3) $\sqrt{a^5 + 2a^3b^2 + ab^4}$；
(4) $\sqrt{16a^3 + 32a^2}(a ＞ 0)$.
答案：5. (1) $ (x + 2y)(y - x) $ (2) $ 25y^{2}z^{2}\sqrt{5yz} $ (3) $ (a^{2} + b^{2})\sqrt{a} $ (4) $ 4a\sqrt{a + 2} $
解析：
(1) $\because 0 ＜ x ＜ y$，$\therefore x + 2y ＞ 0$，$x - y ＜ 0$，$\sqrt{(x + 2y)^2(x - y)^2} = |x + 2y| · |x - y| = (x + 2y)(y - x)$
(2) $\sqrt{125y^2z^3×25y^3z^2} = \sqrt{3125y^5z^5} = \sqrt{25^2×5×(y^2)^2×y×(z^2)^2×z} = 25y^2z^2\sqrt{5yz}$
(3) $\sqrt{a^5 + 2a^3b^2 + ab^4} = \sqrt{a(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)} = \sqrt{a(a^2 + b^2)^2} = (a^2 + b^2)\sqrt{a}$
(4) $\sqrt{16a^3 + 32a^2} = \sqrt{16a^2(a + 2)} = 4a\sqrt{a + 2}$
(2) $\sqrt{125y^2z^3×25y^3z^2} = \sqrt{3125y^5z^5} = \sqrt{25^2×5×(y^2)^2×y×(z^2)^2×z} = 25y^2z^2\sqrt{5yz}$
(3) $\sqrt{a^5 + 2a^3b^2 + ab^4} = \sqrt{a(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)} = \sqrt{a(a^2 + b^2)^2} = (a^2 + b^2)\sqrt{a}$
(4) $\sqrt{16a^3 + 32a^2} = \sqrt{16a^2(a + 2)} = 4a\sqrt{a + 2}$