新知梳理
1. 二次根式除法的性质：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \_\_\_\_\_\_0$，$b\_\_\_\_\_\_0$)。
2. 商的算术平方根的性质：$ = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$($a\_\_\_\_\_\_0$，$b\_\_\_\_\_\_0$)。
1. 二次根式除法的性质：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \_\_\_\_\_\_0$，$b\_\_\_\_\_\_0$)。
2. 商的算术平方根的性质：$ = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$($a\_\_\_\_\_\_0$，$b\_\_\_\_\_\_0$)。
答案：1. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ $≥$ $＞$ 2. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ $≥$ $＞$
1. 如果$\sqrt{\frac{x - 1}{x - 3}} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$，那么$x$的取值范围是(
A.$1 ≤ x ≤ 3$
B.$1 ＜ x ≤ 3$
C.$x ≥ 3$
D.$x ＞ 3$
D
)A.$1 ≤ x ≤ 3$
B.$1 ＜ x ≤ 3$
C.$x ≥ 3$
D.$x ＞ 3$
答案：1. D
解析：
要使等式$\sqrt{\frac{x - 1}{x - 3}} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$成立，需满足：
分子根号下非负：$x - 1 ≥ 0$，即$x ≥ 1$；
分母根号下为正：$x - 3 ＞ 0$，即$x ＞ 3$；
分式有意义：$x - 3 ≠ 0$，即$x ≠ 3$。
综合得$x ＞ 3$。
D
分子根号下非负：$x - 1 ≥ 0$，即$x ≥ 1$；
分母根号下为正：$x - 3 ＞ 0$，即$x ＞ 3$；
分式有意义：$x - 3 ≠ 0$，即$x ≠ 3$。
综合得$x ＞ 3$。
D
2. 计算：
（1）$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{40} ÷ \sqrt{5}$；
（3）$2\sqrt{6} ÷ \frac{2}{3}\sqrt{3}$；
（4）$\sqrt{32} ÷ \sqrt{\frac{1}{4}}$。
（1）$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{40} ÷ \sqrt{5}$；
（3）$2\sqrt{6} ÷ \frac{2}{3}\sqrt{3}$；
（4）$\sqrt{32} ÷ \sqrt{\frac{1}{4}}$。
答案：2. (1) 2 (2) $2\sqrt{2}$ (3) $3\sqrt{2}$ (4) $8\sqrt{2}$
解析：
（1）$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{8÷2} = \sqrt{4} = 2$；
（2）$\sqrt{40} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{40÷5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
（3）$2\sqrt{6} ÷ \frac{2}{3}\sqrt{3} = (2÷\frac{2}{3})×\sqrt{6÷3} = 3\sqrt{2}$；
（4）$\sqrt{32} ÷ \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{32÷\frac{1}{4}} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$。
（2）$\sqrt{40} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{40÷5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
（3）$2\sqrt{6} ÷ \frac{2}{3}\sqrt{3} = (2÷\frac{2}{3})×\sqrt{6÷3} = 3\sqrt{2}$；
（4）$\sqrt{32} ÷ \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{32÷\frac{1}{4}} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$。
3. 化简：
（1）$\sqrt{\frac{121}{144}}$；
（2）$\sqrt{\frac{5}{9}}$；
（3）$\sqrt{\frac{18}{49}}$；
（4）$\sqrt{4\frac{24}{25}}$。
（1）$\sqrt{\frac{121}{144}}$；
（2）$\sqrt{\frac{5}{9}}$；
（3）$\sqrt{\frac{18}{49}}$；
（4）$\sqrt{4\frac{24}{25}}$。
答案：3. (1) $\frac{11}{12}$ (2) $\frac{\sqrt{5}}{3}$ (3) $\frac{3\sqrt{2}}{7}$ (4) $\frac{2\sqrt{31}}{5}$
解析：
（1）$\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}}=\frac{11}{12}$；
（2）$\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；
（3）$\sqrt{\frac{18}{49}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{49}}=\frac{3\sqrt{2}}{7}$；
（4）$\sqrt{4\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{124}{25}}=\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{25}}=\frac{2\sqrt{31}}{5}$。
（2）$\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；
（3）$\sqrt{\frac{18}{49}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{49}}=\frac{3\sqrt{2}}{7}$；
（4）$\sqrt{4\frac{24}{25}}=\sqrt{\frac{124}{25}}=\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{25}}=\frac{2\sqrt{31}}{5}$。
4. 计算：
（1）$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$；
（2）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$；
（3）$\frac{6\sqrt{75}}{\sqrt{12}}$；
（4）$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}$。
（1）$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$；
（2）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$；
（3）$\frac{6\sqrt{75}}{\sqrt{12}}$；
（4）$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}$。
答案：4. (1) 3 (2) $2\sqrt{2}$ (3) 15 (4) $a\sqrt{a}$
解析：
（1）$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{72}{8}}=\sqrt{9}=3$；
（2）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
（3）$\frac{6\sqrt{75}}{\sqrt{12}}=6\sqrt{\frac{75}{12}}=6\sqrt{\frac{25}{4}}=6×\frac{5}{2}=15$；
（4）$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=a\sqrt{\frac{ab}{b}}=a\sqrt{a}$。
（2）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
（3）$\frac{6\sqrt{75}}{\sqrt{12}}=6\sqrt{\frac{75}{12}}=6\sqrt{\frac{25}{4}}=6×\frac{5}{2}=15$；
（4）$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=a\sqrt{\frac{ab}{b}}=a\sqrt{a}$。