新知梳理
1. (1) 已知 $ a ≥ 0,b＞0 $，则 $ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{(\quad)}{b^{2}}}= $
(2) 已知 $ a ≥ 0,b＞0 $，则 $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}·\sqrt{b}}{\sqrt{b}·(\quad)}= $
2. 一般地，化简二次根式就是使二次根式：(1)
1. (1) 已知 $ a ≥ 0,b＞0 $，则 $ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{(\quad)}{b^{2}}}= $
$ \dfrac { \sqrt { a b } } { b } $
(化去被开方数中的分母)；(2) 已知 $ a ≥ 0,b＞0 $，则 $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}·\sqrt{b}}{\sqrt{b}·(\quad)}= $
$ \dfrac { \sqrt { a b } } { b } $
(化去分母中的根号)。2. 一般地，化简二次根式就是使二次根式：(1)
被开方数
中不含分母；(2)分母
中不含有根号；(3) 被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方
的因数，且因式的次数等于 1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式。答案：1. (1) $ ab $ $ \dfrac { \sqrt { a b } } { b } $ (2) $ \sqrt { b } $ $ \dfrac { \sqrt { a b } } { b } $
2. (1) 被开方数 (2) 分母 (3) 能开得尽方
2. (1) 被开方数 (2) 分母 (3) 能开得尽方
1. 下列根式中，是最简二次根式的是(
A.$ \sqrt{12} $
B.$ \sqrt{\dfrac{1}{5}} $
C.$ \sqrt{0.3} $
D.$ \sqrt{7} $
D
)A.$ \sqrt{12} $
B.$ \sqrt{\dfrac{1}{5}} $
C.$ \sqrt{0.3} $
D.$ \sqrt{7} $
答案：1. D
2. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是(
A.$ \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{13} $
C.$ \sqrt{20} $
D.$ \sqrt{26} $
C
)A.$ \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{13} $
C.$ \sqrt{20} $
D.$ \sqrt{26} $
答案：2. C
3. 化简：
(1) $ \sqrt{\dfrac{1}{18}} $；
(2) $ \dfrac{1}{\sqrt{8}} $；
(3) $ \sqrt{3\dfrac{1}{5}} $；
(4) $ \sqrt{\dfrac{2}{5}} $。
(1) $ \sqrt{\dfrac{1}{18}} $；
(2) $ \dfrac{1}{\sqrt{8}} $；
(3) $ \sqrt{3\dfrac{1}{5}} $；
(4) $ \sqrt{\dfrac{2}{5}} $。
答案：3. (1) $ \dfrac { \sqrt { 2 } } { 6 } $ (2) $ \dfrac { \sqrt { 2 } } { 4 } $ (3) $ \dfrac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 } $ (4) $ \dfrac { \sqrt { 10 } } { 5 } $
解析：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{36}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$；
(2) $\dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；
(3) $\sqrt{3\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{16}{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$。
(2) $\dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；
(3) $\sqrt{3\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{16}{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$。
4. 化简：
(1) $ \dfrac{1}{\sqrt{3}} $；
(2) $ \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} $；
(3) $ \dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{8x^{3}}} $。
(1) $ \dfrac{1}{\sqrt{3}} $；
(2) $ \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} $；
(3) $ \dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{8x^{3}}} $。
答案：4. (1) $ \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } $ (2) $ \dfrac { 1 } { 2 } $ (3) $ \dfrac { \sqrt { 6 x y } } { 4 x ^ { 2 } } $
解析：
(1) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\dfrac{2}{8}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{8x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{3y}{8x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{3y×2x}{8x^{3}×2x}}=\sqrt{\dfrac{6xy}{16x^{4}}}=\dfrac{\sqrt{6xy}}{4x^{2}}$。
(2) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\dfrac{2}{8}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{3y}}{\sqrt{8x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{3y}{8x^{3}}}=\sqrt{\dfrac{3y×2x}{8x^{3}×2x}}=\sqrt{\dfrac{6xy}{16x^{4}}}=\dfrac{\sqrt{6xy}}{4x^{2}}$。
5. 已知 $ a=\sqrt{5}+2,b=\sqrt{5}-2 $，求 $ \sqrt{a^{2}+b^{2}+7} $ 的值。
答案：5. 解：$ \because a = \sqrt { 5 } + 2 $，$ b = \sqrt { 5 } - 2 $，
$ \therefore a ^ { 2 } = ( \sqrt { 5 } + 2 ) ^ { 2 } = 9 + 4 \sqrt { 5 } $，$ b ^ { 2 } = ( \sqrt { 5 } - 2 ) ^ { 2 } = 9 - 4 \sqrt { 5 } $，
$ \therefore $ 原式 $ = \sqrt { 9 + 4 \sqrt { 5 } + 9 - 4 \sqrt { 5 } + 7 } = \sqrt { 25 } = 5 $。
$ \therefore a ^ { 2 } = ( \sqrt { 5 } + 2 ) ^ { 2 } = 9 + 4 \sqrt { 5 } $，$ b ^ { 2 } = ( \sqrt { 5 } - 2 ) ^ { 2 } = 9 - 4 \sqrt { 5 } $，
$ \therefore $ 原式 $ = \sqrt { 9 + 4 \sqrt { 5 } + 9 - 4 \sqrt { 5 } + 7 } = \sqrt { 25 } = 5 $。