例3
写出一个比\frac{1}{5}大又比\frac{1}{4}小的分数，并互相说说自己是怎样想到这个分数的。你还能再写出几个这样的分数吗？
写出一个比\frac{1}{5}大又比\frac{1}{4}小的分数，并互相说说自己是怎样想到这个分数的。你还能再写出几个这样的分数吗？
答案：
思路分析：$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{4}$的分子相同，分母是相邻的自然数，不能直接找出这两个分数之间的分数。
方法一：化成分母相同的分数。
先化成分母是$20$的分数，$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}，$$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}，$$\frac{4}{20}$和$\frac{5}{20}$之间没有分母是$20$的分数。再把$\frac{4}{20}$和$\frac{5}{20}$的分子、分母同时乘$2，$$3，$$4，$$5，$$…$直到找出符合要求的分数。
方法二：化成分子相同的分数。
例如：$\frac{1}{5}=\frac{2}{10}，$$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}，$找到$1$个分数$\frac{2}{9}。$再把$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{4}$的分子、分母同时乘$3，$$4，$$5，$$…$还可以找到很多比$\frac{1}{5}$大又比$\frac{1}{4}$小的分数。可见比$\frac{1}{5}$大又比$\frac{1}{4}$小的分数有无数个。
规范解答：方法一：$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}，$$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}；$$\frac{4}{20}=\frac{8}{40}，$$\frac{5}{20}=\frac{10}{40}，$找出$\frac{9}{40}；$$\frac{4}{20}=\frac{12}{60}，$$\frac{5}{20}=\frac{15}{60}，$找出$\frac{13}{60}$和$\frac{7}{30}（$即$\frac{14}{60}）……$
方法二：$\frac{1}{5}=\frac{2}{10}，$$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}，$找出$\frac{2}{9}；$$\frac{1}{5}=\frac{3}{15}，$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}，$找出$\frac{3}{14}$和$\frac{3}{13}；$$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}，$$\frac{1}{4}=\frac{4}{16}，$找出$\frac{4}{19}，$$\frac{2}{9}（$即$\frac{4}{18}）$和$\frac{4}{17}……$
$（$本题答案不唯一$）$
技巧归纳：找两个分数之间的分数，根据分数的基本性质，把所给的分数化成分母或分子相同的分数，把分子、分母同时乘$2，$$3，$$4，$$5，$$…$可以找到无数个符合要求的分数。
思路分析：$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{4}$的分子相同，分母是相邻的自然数，不能直接找出这两个分数之间的分数。
方法一：化成分母相同的分数。
先化成分母是$20$的分数，$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}，$$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}，$$\frac{4}{20}$和$\frac{5}{20}$之间没有分母是$20$的分数。再把$\frac{4}{20}$和$\frac{5}{20}$的分子、分母同时乘$2，$$3，$$4，$$5，$$…$直到找出符合要求的分数。
方法二：化成分子相同的分数。
例如：$\frac{1}{5}=\frac{2}{10}，$$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}，$找到$1$个分数$\frac{2}{9}。$再把$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{4}$的分子、分母同时乘$3，$$4，$$5，$$…$还可以找到很多比$\frac{1}{5}$大又比$\frac{1}{4}$小的分数。可见比$\frac{1}{5}$大又比$\frac{1}{4}$小的分数有无数个。
规范解答：方法一：$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}，$$\frac{1}{4}=\frac{5}{20}；$$\frac{4}{20}=\frac{8}{40}，$$\frac{5}{20}=\frac{10}{40}，$找出$\frac{9}{40}；$$\frac{4}{20}=\frac{12}{60}，$$\frac{5}{20}=\frac{15}{60}，$找出$\frac{13}{60}$和$\frac{7}{30}（$即$\frac{14}{60}）……$
方法二：$\frac{1}{5}=\frac{2}{10}，$$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}，$找出$\frac{2}{9}；$$\frac{1}{5}=\frac{3}{15}，$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}，$找出$\frac{3}{14}$和$\frac{3}{13}；$$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}，$$\frac{1}{4}=\frac{4}{16}，$找出$\frac{4}{19}，$$\frac{2}{9}（$即$\frac{4}{18}）$和$\frac{4}{17}……$
$（$本题答案不唯一$）$
技巧归纳：找两个分数之间的分数，根据分数的基本性质，把所给的分数化成分母或分子相同的分数，把分子、分母同时乘$2，$$3，$$4，$$5，$$…$可以找到无数个符合要求的分数。
跟踪练习3：在括号里填合适的数。
$\frac{3}{5}＜\frac{(\quad)}{(\quad)}＜\frac{(\quad)}{(\quad)}＜\frac{3}{4}$
$\frac{1}{9}＞\frac{(\quad)}{(\quad)}＞\frac{(\quad)}{(\quad)}＞\frac{1}{10}$
$\frac{3}{5}＜\frac{(\quad)}{(\quad)}＜\frac{(\quad)}{(\quad)}＜\frac{3}{4}$
$\frac{1}{9}＞\frac{(\quad)}{(\quad)}＞\frac{(\quad)}{(\quad)}＞\frac{1}{10}$
答案：13/20，7/10；13/120，19/180
解析：
第一小题：将3/5和3/4通分，3/5=12/20，3/4=15/20，中间分数可为13/20、14/20（7/10）；第二小题：将1/9和1/10通分，1/9=40/360，1/10=36/360，中间分数可为39/360（13/120）、38/360（19/180）。
例1
比较$\frac{666665}{666667}$和$\frac{777776}{777778}$的大小。
比较$\frac{666665}{666667}$和$\frac{777776}{777778}$的大小。
答案：思路分析：仔细观察，这两个分数的分母与分子的差都是2，所以可以先把这两个分数与1作差，再利用差的大小来判断原分数的大小。
规范解答：$1-\frac{666665}{666667}=\frac{2}{666667}1-\frac{777776}{777778}=\frac{2}{777778}$因为$\frac{2}{666667}＞\frac{2}{777778}$，所以$\frac{666665}{666667}＜\frac{777776}{777778}$。
技巧归纳：比较几个分母较大的分数的大小，有时可以选用“作差比较法”，即选定一个中间数，比较这些分数与中间数的差，进而比较原分数的大小。
规范解答：$1-\frac{666665}{666667}=\frac{2}{666667}1-\frac{777776}{777778}=\frac{2}{777778}$因为$\frac{2}{666667}＞\frac{2}{777778}$，所以$\frac{666665}{666667}＜\frac{777776}{777778}$。
技巧归纳：比较几个分母较大的分数的大小，有时可以选用“作差比较法”，即选定一个中间数，比较这些分数与中间数的差，进而比较原分数的大小。