18.(8分)如图是一个正比例函数与一个一次函数的图象,它们交于点$A(4,3)$,一次函数的图象与$y$轴交于点$B$,且$OA=OB$.
求:(1)这两个函数的表达式;
(2)两直线与$x$轴围成的三角形的面积.
求:(1)这两个函数的表达式;
(2)两直线与$x$轴围成的三角形的面积.
答案：18.解:(1)设正比例函数的表达式是$y=mx$,一次函数的表达式是$y=kx+b$.
把$A(4,3)$代入$y=mx$,得$4m=3$,解得$m=\dfrac{3}{4}$,
∴正比例函数的表达式是$y=\dfrac{3}{4}x$.
∵$A(4,3)$,根据勾股定理,得$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴$OB=OA=5$,
∴$b=-5$.
把$(4,3)$代入$y=kx-5$,得$4k-5=3$,
解得$k=2$,
∴一次函数的表达式是$y=2x-5$.
(2)设直线AB交x轴于点D,
对于$y=2x-5$,当$y=0$时,$x=\dfrac{5}{2}$,
∴$D(\dfrac{5}{2},0)$,
∴两直线与x轴围成的$△ AOD$的面积为$\dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{2} × 3=\dfrac{15}{4}$.
把$A(4,3)$代入$y=mx$,得$4m=3$,解得$m=\dfrac{3}{4}$,
∴正比例函数的表达式是$y=\dfrac{3}{4}x$.
∵$A(4,3)$,根据勾股定理,得$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
∴$OB=OA=5$,
∴$b=-5$.
把$(4,3)$代入$y=kx-5$,得$4k-5=3$,
解得$k=2$,
∴一次函数的表达式是$y=2x-5$.
(2)设直线AB交x轴于点D,
对于$y=2x-5$,当$y=0$时,$x=\dfrac{5}{2}$,
∴$D(\dfrac{5}{2},0)$,
∴两直线与x轴围成的$△ AOD$的面积为$\dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{2} × 3=\dfrac{15}{4}$.
解析：
【分析】
(1)求函数表达式采用待定系数法：正比例函数仅含一个未知系数，直接将交点A的坐标代入即可求解；求一次函数表达式需要两个条件，先通过勾股定理计算OA的长度，结合OA=OB得到OB的长度，再根据图象判断点B在y轴负半轴，得到一次函数的截距，最后将A点坐标代入一次函数即可求出未知系数。
(2)求两直线与x轴围成的三角形面积，先找到一次函数与x轴的交点D，确定三角形三个顶点为O、D、A，三角形的底为OD的长度，高为点A的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)设正比例函数的表达式为$y=mx$，一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将$A(4,3)$代入$y=mx$，得$4m=3$，解得$m=\dfrac{3}{4}$，因此正比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x$。
根据勾股定理，$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$，由$OA=OB$得$OB=5$，结合图象可知点B在y轴负半轴，因此$b=-5$。
将$A(4,3)$代入$y=kx-5$，得$4k-5=3$，解得$k=2$，因此一次函数的表达式为$y=2x-5$。
(2)设一次函数$y=2x-5$与x轴的交点为D，令$y=0$，则$2x-5=0$，解得$x=\dfrac{5}{2}$，即$D(\dfrac{5}{2},0)$。
两直线与x轴围成的三角形为$△ AOD$，其底$OD=\dfrac{5}{2}$，高为点A的纵坐标3，因此面积为：
$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×3=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
(1)正比例函数表达式：$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x}$，一次函数表达式：$\boldsymbol{y=2x-5}$；
(2)两直线与x轴围成的三角形面积为$\boldsymbol{\dfrac{15}{4}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，将函数解析式求解与几何计算结合，解题的关键是准确求出各关键点的坐标，再结合对应公式计算，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
(1)求函数表达式采用待定系数法：正比例函数仅含一个未知系数，直接将交点A的坐标代入即可求解；求一次函数表达式需要两个条件，先通过勾股定理计算OA的长度，结合OA=OB得到OB的长度，再根据图象判断点B在y轴负半轴，得到一次函数的截距，最后将A点坐标代入一次函数即可求出未知系数。
(2)求两直线与x轴围成的三角形面积，先找到一次函数与x轴的交点D，确定三角形三个顶点为O、D、A，三角形的底为OD的长度，高为点A的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)设正比例函数的表达式为$y=mx$，一次函数的表达式为$y=kx+b$。
将$A(4,3)$代入$y=mx$，得$4m=3$，解得$m=\dfrac{3}{4}$，因此正比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x$。
根据勾股定理，$OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$，由$OA=OB$得$OB=5$，结合图象可知点B在y轴负半轴，因此$b=-5$。
将$A(4,3)$代入$y=kx-5$，得$4k-5=3$，解得$k=2$，因此一次函数的表达式为$y=2x-5$。
(2)设一次函数$y=2x-5$与x轴的交点为D，令$y=0$，则$2x-5=0$，解得$x=\dfrac{5}{2}$，即$D(\dfrac{5}{2},0)$。
两直线与x轴围成的三角形为$△ AOD$，其底$OD=\dfrac{5}{2}$，高为点A的纵坐标3，因此面积为：
$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×3=\dfrac{15}{4}$。
【答案】
(1)正比例函数表达式：$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x}$，一次函数表达式：$\boldsymbol{y=2x-5}$；
(2)两直线与x轴围成的三角形面积为$\boldsymbol{\dfrac{15}{4}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，一次函数面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，将函数解析式求解与几何计算结合，解题的关键是准确求出各关键点的坐标，再结合对应公式计算，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图,直线MN与x轴,y轴分别交于点A,C,分别过点A,C作x轴,y轴的垂线,相交于点B,且$OA=8,OC=6$.
(1)求直线MN的函数表达式;
(2)在直线MN上存在点P,使以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,请求出点P的坐标.
(1)求直线MN的函数表达式;
(2)在直线MN上存在点P,使以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,请求出点P的坐标.
答案：
19.解:(1)
∵$OA=8,OC=6$,
∴$A(8,0),C(0,6)$,
设直线MN的函数表达式是$y=kx+b(k≠0)$.
∵点A,C都在直线MN上,
∴$\begin{cases} 8k+b=0, \\ b=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-\dfrac{3}{4}, \\ b=6, \end{cases}$
∴直线MN的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+6$.
(2)
∵$A(8,0),C(0,6)$,
∴$B(8,6)$.
∵点P在直线MN上,
∴设$P(a,-\dfrac{3}{4}a+6)$.当以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论(如答图):
①当$PC=PB$时,P是线段BC的垂直平分线与直线MN的交点,则$P_1(4,3)$;
②当$PC=BC$时,$a^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=64$,
解得$a=\pm\dfrac{32}{5}$,则$P_2(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})$,$P_3(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})$;
③当$PB=BC$时,$(a-8)^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=64$,
解得$a=0$(舍去)或$a=\dfrac{256}{25}$,则$-\dfrac{3}{4}a+6=-\dfrac{42}{25}$,
∴$P_4(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})$.
综上所述,符合条件的点P的坐标为$(4,3)$,$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})$,$(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})$,$(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})$.
19.解:(1)
∵$OA=8,OC=6$,
∴$A(8,0),C(0,6)$,
设直线MN的函数表达式是$y=kx+b(k≠0)$.
∵点A,C都在直线MN上,
∴$\begin{cases} 8k+b=0, \\ b=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-\dfrac{3}{4}, \\ b=6, \end{cases}$
∴直线MN的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+6$.
(2)
∵$A(8,0),C(0,6)$,
∴$B(8,6)$.
∵点P在直线MN上,
∴设$P(a,-\dfrac{3}{4}a+6)$.当以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论(如答图):
①当$PC=PB$时,P是线段BC的垂直平分线与直线MN的交点,则$P_1(4,3)$;
②当$PC=BC$时,$a^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=64$,
解得$a=\pm\dfrac{32}{5}$,则$P_2(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})$,$P_3(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})$;
③当$PB=BC$时,$(a-8)^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=64$,
解得$a=0$(舍去)或$a=\dfrac{256}{25}$,则$-\dfrac{3}{4}a+6=-\dfrac{42}{25}$,
∴$P_4(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})$.
综上所述,符合条件的点P的坐标为$(4,3)$,$(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})$,$(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})$,$(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})$.
解析：
【分析】
(1) 求直线MN的函数表达式可采用待定系数法：先根据OA、OC的长度确定直线与坐标轴交点A、C的坐标，再将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，解方程组求出系数k、b即可得到解析式。
(2) 等腰三角形存在性问题需分类讨论：首先确定B点坐标，设出P点坐标（利用直线解析式用横坐标表示纵坐标），分$PC=PB$、$PC=BC$、$PB=BC$三种情况，结合平面直角坐标系两点间距离公式（勾股定理推导）列方程求解，最后验证解的合理性，舍去无法构成三角形的解。
【解析】
(1) 已知$OA=8$，$OC=6$，因此A点坐标为$(8,0)$，C点坐标为$(0,6)$。
设直线MN的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将A、C两点坐标代入得：
$\begin{cases} 8k+b=0 \\ b=6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{3}{4} \\ b=6 \end{cases}$
因此直线MN的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+6$。
(2) 由AB垂直x轴、CB垂直y轴，可得B点坐标为$(8,6)$。
设点P的坐标为$(a,\ -\dfrac{3}{4}a+6)$，分三种情况讨论：
① 当$PC=PB$时，P在线段BC的垂直平分线上，BC的垂直平分线为直线$x=4$，将$x=4$代入直线解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×4+6=3$，即$P_1(4,3)$；
② 当$PC=BC$时，$BC=OA=8$，由两点间距离公式得：
$a^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=8^2$
化简得$\dfrac{25}{16}a^2=64$，解得$a=\pm\dfrac{32}{5}$。
当$a=-\dfrac{32}{5}$时，$y=\dfrac{54}{5}$，即$P_2(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})$；当$a=\dfrac{32}{5}$时，$y=\dfrac{6}{5}$，即$P_3(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})$；
③ 当$PB=BC$时，由两点间距离公式得：
$(a-8)^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=8^2$
化简整理得$\dfrac{25}{16}a^2-16a=0$，解得$a=0$（与C重合，无法构成三角形，舍去）或$a=\dfrac{256}{25}$，代入解析式得$y=-\dfrac{42}{25}$，即$P_4(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})$。
【答案】
(1) 直线MN的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{4}x+6}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(4,3)}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})}$、$\boldsymbol{(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})}$、$\boldsymbol{(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；等腰三角形分类讨论；两点间距离公式
【点评】
本题综合考察一次函数与等腰三角形的性质，第一问为基础题型，考察待定系数法的常规应用；第二问重点考察分类讨论思想，易错点为分类不全面漏解，或未验证解的合理性产生增解，需熟练掌握几何性质与代数计算的结合方法。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线MN的函数表达式可采用待定系数法：先根据OA、OC的长度确定直线与坐标轴交点A、C的坐标，再将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，解方程组求出系数k、b即可得到解析式。
(2) 等腰三角形存在性问题需分类讨论：首先确定B点坐标，设出P点坐标（利用直线解析式用横坐标表示纵坐标），分$PC=PB$、$PC=BC$、$PB=BC$三种情况，结合平面直角坐标系两点间距离公式（勾股定理推导）列方程求解，最后验证解的合理性，舍去无法构成三角形的解。
【解析】
(1) 已知$OA=8$，$OC=6$，因此A点坐标为$(8,0)$，C点坐标为$(0,6)$。
设直线MN的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将A、C两点坐标代入得：
$\begin{cases} 8k+b=0 \\ b=6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{3}{4} \\ b=6 \end{cases}$
因此直线MN的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+6$。
(2) 由AB垂直x轴、CB垂直y轴，可得B点坐标为$(8,6)$。
设点P的坐标为$(a,\ -\dfrac{3}{4}a+6)$，分三种情况讨论：
① 当$PC=PB$时，P在线段BC的垂直平分线上，BC的垂直平分线为直线$x=4$，将$x=4$代入直线解析式得$y=-\dfrac{3}{4}×4+6=3$，即$P_1(4,3)$；
② 当$PC=BC$时，$BC=OA=8$，由两点间距离公式得：
$a^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=8^2$
化简得$\dfrac{25}{16}a^2=64$，解得$a=\pm\dfrac{32}{5}$。
当$a=-\dfrac{32}{5}$时，$y=\dfrac{54}{5}$，即$P_2(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})$；当$a=\dfrac{32}{5}$时，$y=\dfrac{6}{5}$，即$P_3(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})$；
③ 当$PB=BC$时，由两点间距离公式得：
$(a-8)^2+(-\dfrac{3}{4}a+6-6)^2=8^2$
化简整理得$\dfrac{25}{16}a^2-16a=0$，解得$a=0$（与C重合，无法构成三角形，舍去）或$a=\dfrac{256}{25}$，代入解析式得$y=-\dfrac{42}{25}$，即$P_4(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})$。
【答案】
(1) 直线MN的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{4}x+6}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(4,3)}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{32}{5},\dfrac{54}{5})}$、$\boldsymbol{(\dfrac{32}{5},\dfrac{6}{5})}$、$\boldsymbol{(\dfrac{256}{25},-\dfrac{42}{25})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；等腰三角形分类讨论；两点间距离公式
【点评】
本题综合考察一次函数与等腰三角形的性质，第一问为基础题型，考察待定系数法的常规应用；第二问重点考察分类讨论思想，易错点为分类不全面漏解，或未验证解的合理性产生增解，需熟练掌握几何性质与代数计算的结合方法。
【难度系数】
0.6
20.(8分)近年来,市民交通安全意识逐步增强,头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔,已知购进甲种头盔20只,乙种头盔30只,共花费2920元,甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购进多少只甲种头盔,使此次购进头盔的总费用最小?最小费用是多少元?
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只,正好赶上厂家进行促销活动,促销方式如下:甲种头盔按单价的八折出售,乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半,那么应购进多少只甲种头盔,使此次购进头盔的总费用最小?最小费用是多少元?
答案：20.解:(1)设甲种头盔的单价为x元,乙种头盔的单价为y元,
根据题意,得$\begin{cases} 20x+30y=2920, \\ x-y=11, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=65, \\ y=54. \end{cases}$
答:甲种头盔的单价是65元,乙种头盔的单价是54元.
(2)设再次购进甲种头盔m只,总费用为w元,
根据题意,得$m≥\dfrac{1}{2}(40-m)$,解得$m≥\dfrac{40}{3}$,
$w=65×0.8m+(54-6)(40-m)=4m+1920$,
∵$4＞0$,
∴w随着m的增大而增大,
∴当$m=14$时,w取得最小值,
此时$w=14×4+1920=1976$.
答:购进14只甲种头盔时,总费用最小,最小费用为1976元.
根据题意,得$\begin{cases} 20x+30y=2920, \\ x-y=11, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=65, \\ y=54. \end{cases}$
答:甲种头盔的单价是65元,乙种头盔的单价是54元.
(2)设再次购进甲种头盔m只,总费用为w元,
根据题意,得$m≥\dfrac{1}{2}(40-m)$,解得$m≥\dfrac{40}{3}$,
$w=65×0.8m+(54-6)(40-m)=4m+1920$,
∵$4＞0$,
∴w随着m的增大而增大,
∴当$m=14$时,w取得最小值,
此时$w=14×4+1920=1976$.
答:购进14只甲种头盔时,总费用最小,最小费用为1976元.
解析：
【分析】
(1) 第一问求解两种头盔的单价，属于二元一次方程组应用问题。先找到两个等量关系：①20只甲头盔费用+30只乙头盔费用=2920元；②甲头盔单价比乙头盔单价高11元。设甲、乙头盔单价分别为x元、y元，将等量关系转化为方程组求解即可。
(2) 第二问求总费用最小时的购进方案，属于一次函数最值结合不等式的应用问题。先设购进甲头盔m只，乙头盔为(40-m)只，第一步根据“甲种头盔数量不低于乙种头盔数量的一半”列不等式求出m的取值范围（m为正整数）；第二步根据促销规则写出总费用w关于m的函数表达式，结合一次函数的增减性判断w随m的变化规律，最后在m的取值范围内取最小符合条件的值代入函数，即可得到最小费用和对应方案。
【解析】
(1) 设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 20x+30y=2920 \\ x-y=11 \end{cases}$
由第二个方程得$x=y+11$，代入第一个方程：
$20(y+11)+30y=2920$
$50y+220=2920$
解得$y=54$，则$x=54+11=65$。
(2) 设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，则购进乙种头盔$(40-m)$只，
根据题意得：
$m≥\dfrac{1}{2}(40-m)$
解不等式得$m≥\dfrac{40}{3}$，因为m为正整数，所以$m≥14$。
根据促销规则计算总费用：
$w=65×0.8m + (54-6)(40-m)$
化简得$w=4m+1920$。
因为$4＞0$，所以w随m的增大而增大，因此当m取最小正整数14时，w取得最小值，
此时最小费用为$w=4×14+1920=1976$元。
【答案】
(1) 甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
(2) 购进14只甲种头盔时总费用最小，最小费用为1976元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活采购场景出题，综合考察了代数知识的实际应用能力，需要学生准确提取题干中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求解最优方案，是实际应用类的典型考题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求解两种头盔的单价，属于二元一次方程组应用问题。先找到两个等量关系：①20只甲头盔费用+30只乙头盔费用=2920元；②甲头盔单价比乙头盔单价高11元。设甲、乙头盔单价分别为x元、y元，将等量关系转化为方程组求解即可。
(2) 第二问求总费用最小时的购进方案，属于一次函数最值结合不等式的应用问题。先设购进甲头盔m只，乙头盔为(40-m)只，第一步根据“甲种头盔数量不低于乙种头盔数量的一半”列不等式求出m的取值范围（m为正整数）；第二步根据促销规则写出总费用w关于m的函数表达式，结合一次函数的增减性判断w随m的变化规律，最后在m的取值范围内取最小符合条件的值代入函数，即可得到最小费用和对应方案。
【解析】
(1) 设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 20x+30y=2920 \\ x-y=11 \end{cases}$
由第二个方程得$x=y+11$，代入第一个方程：
$20(y+11)+30y=2920$
$50y+220=2920$
解得$y=54$，则$x=54+11=65$。
(2) 设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，则购进乙种头盔$(40-m)$只，
根据题意得：
$m≥\dfrac{1}{2}(40-m)$
解不等式得$m≥\dfrac{40}{3}$，因为m为正整数，所以$m≥14$。
根据促销规则计算总费用：
$w=65×0.8m + (54-6)(40-m)$
化简得$w=4m+1920$。
因为$4＞0$，所以w随m的增大而增大，因此当m取最小正整数14时，w取得最小值，
此时最小费用为$w=4×14+1920=1976$元。
【答案】
(1) 甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
(2) 购进14只甲种头盔时总费用最小，最小费用为1976元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活采购场景出题，综合考察了代数知识的实际应用能力，需要学生准确提取题干中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求解最优方案，是实际应用类的典型考题。
【难度系数】
0.7