1.某乡村盛产葡萄,果大味美,甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客,在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案,甲采摘园的优惠方案:游客进园需购买门票,采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案:游客无须购买门票,采摘葡萄超过一定数量后,超过的部分打折销售.活动期间,某游客的葡萄采摘量为$x$千克,若在甲采摘园所需总费用为$y_甲$元,在乙采摘园所需总费用为$y_乙$元,$y_甲,y_乙$与$x$之间的函数图象如图所示,则下列说法错误的是 （
A.甲采摘园的门票是 60 元
B.两个采摘园优惠前的葡萄价格是 30 元/千克
C.乙采摘园超过 10 千克后,超过部分的价格是 12 元/千克
D.若游客采摘 18 千克葡萄,则到甲、乙两个采摘园的总费用相同
D
）A.甲采摘园的门票是 60 元
B.两个采摘园优惠前的葡萄价格是 30 元/千克
C.乙采摘园超过 10 千克后,超过部分的价格是 12 元/千克
D.若游客采摘 18 千克葡萄,则到甲、乙两个采摘园的总费用相同
答案：1.D
解析：
【分析】这是一次函数在方案选择问题中的实际应用，解题时首先从函数图象提取关键点信息，结合两个采摘园的优惠规则，逐个验证选项：1. 甲采摘园x=0时的费用就是门票价格；2. 乙采摘园10千克以内没有优惠，用10千克的总费用除以重量即可得到原价；3. 用乙采摘园25千克的总费用减去前10千克的费用，除以超出的重量得到超出部分的单价；4. 分别计算采摘18千克时两个园的总费用，对比是否相等，最终找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：观察虚线$y_甲$的图象，当$x=0$（未采摘葡萄）时，$y_甲=60$元，这就是甲采摘园的门票费用，A正确。
2. 选项B：乙采摘园10千克以内无优惠，10千克总费用300元，因此优惠前葡萄单价为$300÷10=30$元/千克，B正确。
3. 选项C：乙采摘园采摘25千克时总费用480元，前10千克费用300元，超出的$25-10=15$千克总费用为$480-300=180$元，因此超出部分单价为$180÷15=12$元/千克，C正确。
4. 选项D：
首先计算甲采摘园采摘18千克的费用：甲的葡萄打六折，折后单价为$30×0.6=18$元/千克，总费用$y_甲=60+18×18=60+324=384$元。
再计算乙采摘园采摘18千克的费用：前10千克300元，超出的$18-10=8$千克按12元/千克计算，总费用$y_乙=300+8×12=300+96=396$元。
$384≠396$，费用不相同，D错误。
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用，方案选择，函数图象的意义
【点评】本题考查一次函数在实际生活中的应用，解题关键是读懂函数图象的横纵坐标意义、拐点的实际含义，结合优惠规则计算相关费用即可判断选项。
【难度系数】0.7
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：观察虚线$y_甲$的图象，当$x=0$（未采摘葡萄）时，$y_甲=60$元，这就是甲采摘园的门票费用，A正确。
2. 选项B：乙采摘园10千克以内无优惠，10千克总费用300元，因此优惠前葡萄单价为$300÷10=30$元/千克，B正确。
3. 选项C：乙采摘园采摘25千克时总费用480元，前10千克费用300元，超出的$25-10=15$千克总费用为$480-300=180$元，因此超出部分单价为$180÷15=12$元/千克，C正确。
4. 选项D：
首先计算甲采摘园采摘18千克的费用：甲的葡萄打六折，折后单价为$30×0.6=18$元/千克，总费用$y_甲=60+18×18=60+324=384$元。
再计算乙采摘园采摘18千克的费用：前10千克300元，超出的$18-10=8$千克按12元/千克计算，总费用$y_乙=300+8×12=300+96=396$元。
$384≠396$，费用不相同，D错误。
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用，方案选择，函数图象的意义
【点评】本题考查一次函数在实际生活中的应用，解题关键是读懂函数图象的横纵坐标意义、拐点的实际含义，结合优惠规则计算相关费用即可判断选项。
【难度系数】0.7
2. 甲、乙两人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车出发，沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差$ s $（米）与甲出发时间$ t $（分）之间的函数关系如图所示。给出下列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的$ 2.5 $倍；③$ b=480 $；④$ a=24 $。其中正确的是________。（填序号）
答案：2.①②③
解析：
【分析】
解题时先从图像的拐点提取对应实际意义：①0~9分钟只有甲步行，9分钟时甲走了720米，可先算出甲的速度；②15分钟时两人路程差为0，说明乙刚好追上甲，结合此时两人路程相等可计算乙的速度，判断②是否正确；③19分钟时路程差达到第二个峰值，说明乙到达科技馆，先算出总路程，再计算此时甲走的路程即可得到b的值，判断③；最后计算甲走完全程的总时间得到a的值，判断④，同时对比两人到达时间判断①。
【解析】
1. 计算甲的速度：由图可知，甲9分钟步行的路程为720米，因此甲的速度$v_甲=\frac{720}{9}=80$米/分。
2. 计算乙的速度：15分钟时乙追上甲，此时甲步行的总路程为$15×80=1200$米，乙的骑行时间为$15-9=6$分钟，因此乙的速度$v_乙=\frac{1200}{6}=200$米/分。$\frac{200}{80}=2.5$，即乙的速度是甲的2.5倍，故②正确。
3. 判断谁先到达科技馆：19分钟时路程差达到第二个最高点，说明乙此时到达科技馆。乙的总骑行时间为$19-9=10$分钟，总路程为$200×10=2000$米。甲走完全程需要的时间为$\frac{2000}{80}=25$分钟，即$a=25$，因此乙19分钟到达、甲25分钟到达，乙先到科技馆，故①正确，④错误。
4. 计算b的值：19分钟时甲步行的路程为$19×80=1520$米，两人路程差$b=2000-1520=480$，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，图像信息提取
【点评】
本题需要结合函数图像的拐点理解对应的实际场景，再结合路程、速度、时间的三者关系逐步推导，核心是读懂图像中横坐标、纵坐标以及特殊点的实际意义。
【难度系数】
0.65
解题时先从图像的拐点提取对应实际意义：①0~9分钟只有甲步行，9分钟时甲走了720米，可先算出甲的速度；②15分钟时两人路程差为0，说明乙刚好追上甲，结合此时两人路程相等可计算乙的速度，判断②是否正确；③19分钟时路程差达到第二个峰值，说明乙到达科技馆，先算出总路程，再计算此时甲走的路程即可得到b的值，判断③；最后计算甲走完全程的总时间得到a的值，判断④，同时对比两人到达时间判断①。
【解析】
1. 计算甲的速度：由图可知，甲9分钟步行的路程为720米，因此甲的速度$v_甲=\frac{720}{9}=80$米/分。
2. 计算乙的速度：15分钟时乙追上甲，此时甲步行的总路程为$15×80=1200$米，乙的骑行时间为$15-9=6$分钟，因此乙的速度$v_乙=\frac{1200}{6}=200$米/分。$\frac{200}{80}=2.5$，即乙的速度是甲的2.5倍，故②正确。
3. 判断谁先到达科技馆：19分钟时路程差达到第二个最高点，说明乙此时到达科技馆。乙的总骑行时间为$19-9=10$分钟，总路程为$200×10=2000$米。甲走完全程需要的时间为$\frac{2000}{80}=25$分钟，即$a=25$，因此乙19分钟到达、甲25分钟到达，乙先到科技馆，故①正确，④错误。
4. 计算b的值：19分钟时甲步行的路程为$19×80=1520$米，两人路程差$b=2000-1520=480$，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，图像信息提取
【点评】
本题需要结合函数图像的拐点理解对应的实际场景，再结合路程、速度、时间的三者关系逐步推导，核心是读懂图像中横坐标、纵坐标以及特殊点的实际意义。
【难度系数】
0.65
3. 某商店准备购进 A,B 两种商品共 100 件,其中 A 商品的单价为 16 元,B 商品的单价为 10 元.设购进 A 商品 m 件,要求购进 A 商品的数量不少于 B 商品数量的$\frac{3}{5}$,且总费用不超过 1250 元.
(1)该商店有几种购进方案?
(2)实际购进时,A 商品每件下降$a(a＞0)$元,B 商品每件上涨$3a$元,当购进这两种商品所需的最少费用为 1248 元时,求$a$的值.
(1)该商店有几种购进方案?
(2)实际购进时,A 商品每件下降$a(a＞0)$元,B 商品每件上涨$3a$元,当购进这两种商品所需的最少费用为 1248 元时,求$a$的值.
答案：3.解:(1)由购进 A 商品 m 件,知购进 B 商品(100−m)件,
依题意,得$\begin{cases}\frac{3}{5}(100-m)≤ m,\\16m+10(100-m)≤1250,\end{cases}$
解得$\frac{75}{2}≤ m≤\frac{125}{3}$。
又$\because m$为正整数,
$\therefore m$可以取 38,39,40,41,
$\therefore$该商店有四种购进方案。
(2)设购进两种商品的总费用为$w$元,根据题意,得
$w=m(16-a)+(100-m)(10+3a)$,
化简,得$w=(6-4a)m+300a+1000$,
由(1)知$m=38,39,40,41$。
当$6-4a＞0$,即$0＜a＜\frac{3}{2}$时,$w$随$m$的增大而增大,
$\therefore m=38$时,$w$取最小值 1248,
则$38(6-4a)+300a+1000=1248$,解得$a=\frac{5}{37}$;
当$6-4a=0$,即$a=\frac{3}{2}$时,$w=1450＞1248$,不合题意;
当$6-4a＜0$,即$a＞\frac{3}{2}$时,$w$随$m$的增大而减小,
$\therefore$当$m=41$时,$w$取最小值 1248,则$41(6-4a)+300a+1000=1248$,解得$a=\frac{1}{68}$,与$a＞\frac{3}{2}$矛盾,舍去。
综上所述,$a=\frac{5}{37}$。
依题意,得$\begin{cases}\frac{3}{5}(100-m)≤ m,\\16m+10(100-m)≤1250,\end{cases}$
解得$\frac{75}{2}≤ m≤\frac{125}{3}$。
又$\because m$为正整数,
$\therefore m$可以取 38,39,40,41,
$\therefore$该商店有四种购进方案。
(2)设购进两种商品的总费用为$w$元,根据题意,得
$w=m(16-a)+(100-m)(10+3a)$,
化简,得$w=(6-4a)m+300a+1000$,
由(1)知$m=38,39,40,41$。
当$6-4a＞0$,即$0＜a＜\frac{3}{2}$时,$w$随$m$的增大而增大,
$\therefore m=38$时,$w$取最小值 1248,
则$38(6-4a)+300a+1000=1248$,解得$a=\frac{5}{37}$;
当$6-4a=0$,即$a=\frac{3}{2}$时,$w=1450＞1248$,不合题意;
当$6-4a＜0$,即$a＞\frac{3}{2}$时,$w$随$m$的增大而减小,
$\therefore$当$m=41$时,$w$取最小值 1248,则$41(6-4a)+300a+1000=1248$,解得$a=\frac{1}{68}$,与$a＞\frac{3}{2}$矛盾,舍去。
综上所述,$a=\frac{5}{37}$。
解析：
【分析】
（1）首先明确购进A商品m件时，B商品的数量为$(100-m)$件，根据题中两个限制条件：①A商品数量不少于B商品数量的$\frac{3}{5}$，②购进总费用不超过1250元，列出一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，再结合m为正整数，确定m的可取数值，数值的个数就是购进方案的种数。
（2）先根据调价后的单价和购进数量，列出总费用w关于m的函数表达式，化简后得到一次函数形式。由于一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，因此分一次项系数大于0、等于0、小于0三种情况讨论，分别找到对应情况下w取最小值时的m值，代入$w=1248$求解a，再检验所得a是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解，最终得到a的值。
【解析】
(1) 由购进A商品m件，可知购进B商品$(100-m)$件，
依题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{3}{5}(100-m) ≤ m \\16m + 10(100-m) ≤ 1250\end{cases}$
解第一个不等式得$m ≥ \frac{75}{2}=37.5$，解第二个不等式得$m ≤ \frac{125}{3}\approx41.67$。
∵m为正整数，
∴m可以取38、39、40、41，共4个取值，即该商店有4种购进方案。
(2) 设购进两种商品的总费用为w元，根据题意得：
$w = m(16-a) + (100-m)(10+3a)$
化简得：$w=(6-4a)m + 300a + 1000$
由(1)知m的取值为38、39、40、41，分三种情况讨论：
①当$6-4a＞0$，即$0＜a＜\frac{3}{2}$时，w随m的增大而增大，
∴当$m=38$时，w取最小值1248，代入得：
$38(6-4a)+300a+1000=1248$，解得$a=\frac{5}{37}$，符合$0＜a＜\frac{3}{2}$，成立；
②当$6-4a=0$，即$a=\frac{3}{2}$时，$w=1450＞1248$，不符合题意，舍去；
③当$6-4a＜0$，即$a＞\frac{3}{2}$时，w随m的增大而减小，
∴当$m=41$时，w取最小值1248，代入得：
$41(6-4a)+300a+1000=1248$，解得$a=\frac{1}{68}$，与$a＞\frac{3}{2}$矛盾，舍去。
综上所述，$a=\frac{5}{37}$。
【答案】
(1) 该商店有4种购进方案；
(2) $a$的值为$\frac{5}{37}$。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与方案选择结合的典型应用题，既需要根据题干限制条件列不等式组确定参数的可行范围，又需要结合一次函数增减性分情况讨论最值，解题时要注意对所求参数的取值范围进行检验，避免出现增解，对逻辑分析能力和知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
（1）首先明确购进A商品m件时，B商品的数量为$(100-m)$件，根据题中两个限制条件：①A商品数量不少于B商品数量的$\frac{3}{5}$，②购进总费用不超过1250元，列出一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，再结合m为正整数，确定m的可取数值，数值的个数就是购进方案的种数。
（2）先根据调价后的单价和购进数量，列出总费用w关于m的函数表达式，化简后得到一次函数形式。由于一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，因此分一次项系数大于0、等于0、小于0三种情况讨论，分别找到对应情况下w取最小值时的m值，代入$w=1248$求解a，再检验所得a是否符合对应情况的取值范围，舍去不符合的解，最终得到a的值。
【解析】
(1) 由购进A商品m件，可知购进B商品$(100-m)$件，
依题意列不等式组：
$\begin{cases}\frac{3}{5}(100-m) ≤ m \\16m + 10(100-m) ≤ 1250\end{cases}$
解第一个不等式得$m ≥ \frac{75}{2}=37.5$，解第二个不等式得$m ≤ \frac{125}{3}\approx41.67$。
∵m为正整数，
∴m可以取38、39、40、41，共4个取值，即该商店有4种购进方案。
(2) 设购进两种商品的总费用为w元，根据题意得：
$w = m(16-a) + (100-m)(10+3a)$
化简得：$w=(6-4a)m + 300a + 1000$
由(1)知m的取值为38、39、40、41，分三种情况讨论：
①当$6-4a＞0$，即$0＜a＜\frac{3}{2}$时，w随m的增大而增大，
∴当$m=38$时，w取最小值1248，代入得：
$38(6-4a)+300a+1000=1248$，解得$a=\frac{5}{37}$，符合$0＜a＜\frac{3}{2}$，成立；
②当$6-4a=0$，即$a=\frac{3}{2}$时，$w=1450＞1248$，不符合题意，舍去；
③当$6-4a＜0$，即$a＞\frac{3}{2}$时，w随m的增大而减小，
∴当$m=41$时，w取最小值1248，代入得：
$41(6-4a)+300a+1000=1248$，解得$a=\frac{1}{68}$，与$a＞\frac{3}{2}$矛盾，舍去。
综上所述，$a=\frac{5}{37}$。
【答案】
(1) 该商店有4种购进方案；
(2) $a$的值为$\frac{5}{37}$。
【知识点】
一元一次不等式组应用，一次函数的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与方案选择结合的典型应用题，既需要根据题干限制条件列不等式组确定参数的可行范围，又需要结合一次函数增减性分情况讨论最值，解题时要注意对所求参数的取值范围进行检验，避免出现增解，对逻辑分析能力和知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5