新知梳理
答案：解：
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
几何语言表述：
若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA = PB。
3. 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表述：
若点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 相关推论
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
几何语言表述：
若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA = PB。
3. 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表述：
若点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 相关推论
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
解析：
【分析】
本次是线段垂直平分线相关核心基础知识点的梳理，可按照“定义-性质-判定-延伸推论”的逻辑分层掌握：首先明确垂直平分线的基本定义，再区分性质定理和判定定理的互逆关系，其中性质是由“线的位置特征”推导得到“线段长度相等”，判定是由“线段长度相等”推导得到“点的位置特征”，同时要熟练掌握对应的几何语言表述，方便后续解题时规范书写，最后掌握三角形三边垂直平分线的交点特性即可。
【解析】
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
几何语言表述：
若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA = PB。
3. 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表述：
若点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 相关推论
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
【答案】
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
几何语言表述：
若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA = PB。
3. 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表述：
若点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 相关推论
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质与判定；三角形中垂线推论
【点评】
本部分是几何中线段相关计算、证明的核心基础，需明确性质与判定的互逆逻辑，熟练规范几何语言的书写，能为后续解决垂直、线段相等类问题提供有力支撑。
【难度系数】
0.9
本次是线段垂直平分线相关核心基础知识点的梳理，可按照“定义-性质-判定-延伸推论”的逻辑分层掌握：首先明确垂直平分线的基本定义，再区分性质定理和判定定理的互逆关系，其中性质是由“线的位置特征”推导得到“线段长度相等”，判定是由“线段长度相等”推导得到“点的位置特征”，同时要熟练掌握对应的几何语言表述，方便后续解题时规范书写，最后掌握三角形三边垂直平分线的交点特性即可。
【解析】
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
几何语言表述：
若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA = PB。
3. 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表述：
若点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 相关推论
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
【答案】
1. 线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段，且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。
2. 线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
几何语言表述：
若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA = PB。
3. 线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言表述：
若点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
4. 相关推论
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质与判定；三角形中垂线推论
【点评】
本部分是几何中线段相关计算、证明的核心基础，需明确性质与判定的互逆逻辑，熟练规范几何语言的书写，能为后续解决垂直、线段相等类问题提供有力支撑。
【难度系数】
0.9
1.线段是轴对称图形，$\underline{\hspace{15cm}}$是它的对称轴.
答案：1. 线段的垂直平分线
解析：
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。接下来思考线段满足折叠重合的直线：要让线段折叠后两端点重合，折痕必须经过线段中点且和线段垂直，也就是线段的垂直平分线，沿这条线折叠时线段两部分完全重合，因此可确定对应的对称轴。
【解析】
根据轴对称图形的定义，若一条直线是图形的对称轴，沿这条直线折叠后，直线两旁的部分必须完全重合。
将线段沿它的垂直平分线折叠时，线段的两个端点恰好重合，线段被垂直平分线分成的两部分也完全重合，因此线段的垂直平分线是线段的对称轴。
【答案】
线段的垂直平分线
【知识点】
1.轴对称图形的概念
2.线段的对称轴
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点对轴对称图形的定义和线段对称轴的相关知识进行考查，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。接下来思考线段满足折叠重合的直线：要让线段折叠后两端点重合，折痕必须经过线段中点且和线段垂直，也就是线段的垂直平分线，沿这条线折叠时线段两部分完全重合，因此可确定对应的对称轴。
【解析】
根据轴对称图形的定义，若一条直线是图形的对称轴，沿这条直线折叠后，直线两旁的部分必须完全重合。
将线段沿它的垂直平分线折叠时，线段的两个端点恰好重合，线段被垂直平分线分成的两部分也完全重合，因此线段的垂直平分线是线段的对称轴。
【答案】
线段的垂直平分线
【知识点】
1.轴对称图形的概念
2.线段的对称轴
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点对轴对称图形的定义和线段对称轴的相关知识进行考查，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等
.答案：2. 相等
解析：
【分析】
这是一道基础概念识记类填空题，解题思路为：首先明确题目考察的是线段垂直平分线性质定理的原文内容，回忆该定理的核心表述即可完成填空，该定理是初中几何中证明两条线段相等的常用依据，属于必须熟练记忆的基础知识点。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质定理的明确规定：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此空缺处应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础送分题，主要考查对教材核心基础定理的识记掌握情况，只要熟悉课本相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记类填空题，解题思路为：首先明确题目考察的是线段垂直平分线性质定理的原文内容，回忆该定理的核心表述即可完成填空，该定理是初中几何中证明两条线段相等的常用依据，属于必须熟练记忆的基础知识点。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质定理的明确规定：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此空缺处应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础送分题，主要考查对教材核心基础定理的识记掌握情况，只要熟悉课本相关概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：______的点在线段的垂直平分线上.
答案：3. 到线段两端距离相等
解析：
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质定理内容，再根据互逆定理的特点——将原定理的条件和结论互换，即可推导出逆定理的内容。原性质定理的条件是“点在某线段的垂直平分线上”，结论是“该点到线段两端的距离相等”，逆定理就是把结论作为条件、条件作为结论，由此就能得到空白处需要填写的内容。
【解析】
首先明确线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。互逆定理是将原定理的条件和结论互换得到的定理，将上述性质定理的条件和结论互换，可得逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此空白处应填入对应内容。
【答案】
到线段两端距离相等
【知识点】
线段垂直平分线逆定理、互逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对线段垂直平分线相关定理的识记设置考点，熟练掌握课本基础定义、定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质定理内容，再根据互逆定理的特点——将原定理的条件和结论互换，即可推导出逆定理的内容。原性质定理的条件是“点在某线段的垂直平分线上”，结论是“该点到线段两端的距离相等”，逆定理就是把结论作为条件、条件作为结论，由此就能得到空白处需要填写的内容。
【解析】
首先明确线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。互逆定理是将原定理的条件和结论互换得到的定理，将上述性质定理的条件和结论互换，可得逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此空白处应填入对应内容。
【答案】
到线段两端距离相等
【知识点】
线段垂直平分线逆定理、互逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对线段垂直平分线相关定理的识记设置考点，熟练掌握课本基础定义、定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于点P，请问PA和PC相等吗？请说明理由.
答案：1. 解:$PA=PC$. 理由:连接 $BP$.
$\because$ 直线 $MN$ 和直线 $DE$ 分别是线段 $AB,BC$ 的垂直平分线,$\therefore PA=PB,PC=PB,\therefore PA=PC$.
$\because$ 直线 $MN$ 和直线 $DE$ 分别是线段 $AB,BC$ 的垂直平分线,$\therefore PA=PB,PC=PB,\therefore PA=PC$.
解析：
【分析】
要判断PA和PC是否相等，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知PA和PC没有直接关联，因此考虑引入中间线段PB建立二者的联系：连接PB后，点P在AB的垂直平分线MN上，可得PA=PB；点P同时在BC的垂直平分线DE上，可得PC=PB，最后通过等量代换即可判断PA和PC的关系。
【解析】
PA=PC，理由如下：
连接$BP$。
$\because$ 直线 $MN$ 和直线 $DE$ 分别是线段 $AB,BC$ 的垂直平分线，点$P$在两条垂直平分线上，
$\therefore PA=PB$，$PC=PB$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore PA=PC$（等量代换）。
【答案】
$PA=PC$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用，解题的关键是合理连接辅助线PB作为中间量，结合性质和等量代换即可得到结论，解题时注意明确垂直平分线上的点和线段两端点的对应关系。
【难度系数】
0.9
要判断PA和PC是否相等，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知PA和PC没有直接关联，因此考虑引入中间线段PB建立二者的联系：连接PB后，点P在AB的垂直平分线MN上，可得PA=PB；点P同时在BC的垂直平分线DE上，可得PC=PB，最后通过等量代换即可判断PA和PC的关系。
【解析】
PA=PC，理由如下：
连接$BP$。
$\because$ 直线 $MN$ 和直线 $DE$ 分别是线段 $AB,BC$ 的垂直平分线，点$P$在两条垂直平分线上，
$\therefore PA=PB$，$PC=PB$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore PA=PC$（等量代换）。
【答案】
$PA=PC$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用，解题的关键是合理连接辅助线PB作为中间量，结合性质和等量代换即可得到结论，解题时注意明确垂直平分线上的点和线段两端点的对应关系。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$BA$ 平分 $∠ CBD$，$AB$ 平分 $∠ CAD$。求证：$AB$ 垂直平分 $CD$。
答案：2. 证明:$\because BA$ 平分$∠ CBD,\therefore ∠ DBA=∠ CBA$.
$\because AB$ 平分$∠ CAD,\therefore ∠ DAB=∠ CAB$.
在$△ BAD$ 和$△ BAC$ 中,$\begin{cases} ∠ DBA=∠ CBA, \\ BA=BA, \\ ∠ DAB=∠ CAB, \end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ CAB(\mathrm{ASA}),\therefore BD=BC,AD=AC$,
$\therefore$ 点 $B,A$ 都在 $DC$ 的垂直平分线上,即 $AB$ 垂直平分 $CD$.
$\because AB$ 平分$∠ CAD,\therefore ∠ DAB=∠ CAB$.
在$△ BAD$ 和$△ BAC$ 中,$\begin{cases} ∠ DBA=∠ CBA, \\ BA=BA, \\ ∠ DAB=∠ CAB, \end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ CAB(\mathrm{ASA}),\therefore BD=BC,AD=AC$,
$\therefore$ 点 $B,A$ 都在 $DC$ 的垂直平分线上,即 $AB$ 垂直平分 $CD$.
解析：
【分析】
要证明AB垂直平分CD，首先明确判定思路：只要证明直线上有两个点到线段CD两端的距离相等，根据两点确定一条直线，即可说明AB是CD的垂直平分线。结合已知的角平分线条件，可先得到两组相等的角，加公共边BA即可证明△DAB和△CAB全等，由全等性质得到对应边相等，进而推出点A、B都在CD的垂直平分线上，即可得到结论。
【解析】
第一步：根据角平分线的定义，由BA平分∠CBD可得∠DBA=∠CBA，由AB平分∠CAD可得∠DAB=∠CAB；
第二步：证明△DAB和△CAB全等，两个三角形有公共边BA，结合第一步得到的两组等角，满足ASA全等判定条件，因此△DAB≌△CAB；
第三步：根据全等三角形对应边相等，可得BD=BC，AD=AC；
第四步：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点B、A都在CD的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，可得AB垂直平分CD。
【答案】
证明:$\because BA$ 平分$∠ CBD,\therefore ∠ DBA=∠ CBA$.
$\because AB$ 平分$∠ CAD,\therefore ∠ DAB=∠ CAB$.
在$△ BAD$ 和$△ BAC$ 中,$\begin{cases} ∠ DBA=∠ CBA, \\ BA=BA, \\ ∠ DAB=∠ CAB, \end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ CAB(\mathrm{ASA}),\therefore BD=BC,AD=AC$,
$\therefore$ 点 $B,A$ 都在 $DC$ 的垂直平分线上,即 $AB$ 垂直平分 $CD$.
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是利用角平分线条件构造全等三角形，再结合线段垂直平分线的判定定理完成推导，解题时注意保证逻辑严谨，不要省略关键步骤。
【难度系数】
0.8
要证明AB垂直平分CD，首先明确判定思路：只要证明直线上有两个点到线段CD两端的距离相等，根据两点确定一条直线，即可说明AB是CD的垂直平分线。结合已知的角平分线条件，可先得到两组相等的角，加公共边BA即可证明△DAB和△CAB全等，由全等性质得到对应边相等，进而推出点A、B都在CD的垂直平分线上，即可得到结论。
【解析】
第一步：根据角平分线的定义，由BA平分∠CBD可得∠DBA=∠CBA，由AB平分∠CAD可得∠DAB=∠CAB；
第二步：证明△DAB和△CAB全等，两个三角形有公共边BA，结合第一步得到的两组等角，满足ASA全等判定条件，因此△DAB≌△CAB；
第三步：根据全等三角形对应边相等，可得BD=BC，AD=AC；
第四步：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点B、A都在CD的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，可得AB垂直平分CD。
【答案】
证明:$\because BA$ 平分$∠ CBD,\therefore ∠ DBA=∠ CBA$.
$\because AB$ 平分$∠ CAD,\therefore ∠ DAB=∠ CAB$.
在$△ BAD$ 和$△ BAC$ 中,$\begin{cases} ∠ DBA=∠ CBA, \\ BA=BA, \\ ∠ DAB=∠ CAB, \end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ CAB(\mathrm{ASA}),\therefore BD=BC,AD=AC$,
$\therefore$ 点 $B,A$ 都在 $DC$ 的垂直平分线上,即 $AB$ 垂直平分 $CD$.
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是利用角平分线条件构造全等三角形，再结合线段垂直平分线的判定定理完成推导，解题时注意保证逻辑严谨，不要省略关键步骤。
【难度系数】
0.8